- Числа Каллена
-
В математике числами Каллена называют натуральные числа вида n • 2n + 1 (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.
Свойства
В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых , для которых Cn простое, есть o(x) для . В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел n • 2n+a + b где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные числа числа Каллена соответствуют n, равному:
- 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.
Есть предоложениея, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.
К августу 2009, наибольшим известным числом Каллена было 6679881 × 26679881 + 1. Это мегапростое число с 2,010,852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.[1]
Числа Каллена Cn делятся на p = 2n − 1 если p простое число вида 8k - 3. Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечетное, то p делит Cm(k) для каждого m(k) = (2k − k) (p − 1) − k (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит C(p + 1) / 2 когда символ Якоби (2 | p) есть −1, и что p делит C(3p − 1) / 2 когда символ Якоби (2 | p) есть +1.
Неизвестно, существует ли простое число p, такое что Cp тоже простое.
Обобщения
Иногда обобщенными числами Каллена называют числа вида n • bn + 1, где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщенным простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.
К февралю 2012 гда наибольшим известным обобщенным простым числом Каллена было 427194 × 113 427194 + 1. Оно имеет 877,069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.[2]
Ссылки
- ↑ «The Prime Database: 6679881*2^6679881+1», <http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89536>. Проверено 22 декабря 2009.
- ↑ «The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1», <http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=104121>. Проверено 30 января 2012.
Дальнейшее чтение
- Cullen, James (1905), "«Question 15897»", Educ. Times: 534.
- Guy, Richard K. (2004), «Unsolved Problems in Number Theory» (3rd ed.), New York: Springer Verlag, сс. section B20, ISBN 0-387-20860-7.
- Hooley, Christopher (1976), «Applications of sieve methods», New York: Cambridge University Press, сс. 115–119, ISBN 0-521-20915-3.
- Keller, Wilfrid (1995), "«New Cullen Primes»", Mathematics of Computation Т. 64 (212): 1733–1741, <http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995-1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf>.
Ссылки
- Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages.
- The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
- Weisstein, Eric W. Cullen number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Cullen prime: definition and status (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid
- Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers
Категории:- Ряды и последовательности
- Математические гипотезы
- Нерешённые проблемы
Wikimedia Foundation. 2010.