Экспоненциальное отображение

Экспоненциальное отображение — далеко идущее обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Для риманова многообразия $M$ экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения $TM$ в само многообразие $M$.

Экспоненциальное отображение обычно обозначается $\exp\colon TM\to M$, а его сужение на касательное пространство $T_pM$ в точке $p\in M$ обозначается $\exp_p\colon T_pM\to M$ и назывется экспоненциальным отображением в точке $p$.

Определение

Пусть $M$ — риманово многообразие и $p \in M$. Для каждого вектора $v \in T_p M$ существует единственная геодезическая $\gamma_v(t)$, выходящая из точки $p$ (то есть $\gamma_v(0)=p$), такая что $\gamma_v'(0)=v$.

Экспоненциальное отображение вектора $v$ есть точка $\gamma_v(1) \in M$, или $\exp v=\gamma_v(1)$.

Свойства

• $\exp_p(0)=p$.

Образ поверхности Земли при обратном экспоненциальном отображении к северному плюсу.

• Для каждой точки $p \in M$ существует такое число $\varepsilon>0$, что экспоненциальное отображение $\exp_p$ определено для всех векторов $v \in T_p M$, удовлетворяющих условию $|v| \le \varepsilon$.
  • Более того, $\exp_p$ является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве $T_p M$ в некоторую окрестность точки $p$ многообразия $M$. Таким образом, в некоторой окрестности точки $p$ многообразия $M$ определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое $\log_p$), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства $T_p M$.

• В полном римановом многообразии, экспоненциальное отображение опеделено для любого касательного вектора.

• Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке $p$ является тождественным линейным оператором. То есть

  $(d_p\exp_p)(v)=v$

для любого $v\in T_pM$. Здесь мы отождествляем пространство, касательное к $T_pM$, с ним самим.

• Для групп Ли с би-инвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой.

Ссылки

• А.В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс

Литература

• Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• М.М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.