Прямоугольная функция

Прямоугольная функция

Прямоугольная функция, единичный импульс, прямоугольный импульс, или нормированное прямоугольное окно — кусочно-постоянная функция следующего вида:

$\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0, & |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2}, & |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1, & |t| < \frac{1}{2} \end{cases}$

Другое определение функции через функцию Хевисайда, $u(t)$:

$\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)$

или, иначе:

$\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) - u \left( t - \frac{1}{2} \right)$

Нормированная прямоугольная функция:

$\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1$

Преобразование Фурье прямоугольной функции:

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$,

при нормировке sinc-функции,

$\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt = \mathrm{sinc}(f)$

Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:

$\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t) \;$

На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии, строятся атомарные функции.

См. также

• Преобразование Фурье
• Треугольная функция
• Атомарная функция