Группа Пуанкаре

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов $x=x^\mu=\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ вида $x'^\mu = \Lambda_\nu^\mu x^\nu + a^\mu$, где $\Lambda$ — преобразование из группы Лоренца, $a^\nu$ — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно обозначается $\{a,\Lambda\}$, а закон композиции имеет вид

$\{a_1, \Lambda_1\} \{a_2,\Lambda_2\} = \{a_1+ \Lambda_1 a_2,\Lambda_1 \Lambda_2\}.$

Группа Пуанкаре играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

• кинематических законов,
• уравнений Максвелла в теории электромагнетизма,
• уравнения Дирака в теории электрона,

являются инвариантными при преобразованиях Лоренца. Поэтому можно сказать, что группа Пуанкаре выражает фундаментальную симметрию многих из известных фундаментальных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа $P$ имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями $\det \Lambda$ и знаком $\Lambda_0^0$. Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента $P$, у которой $\det \Lambda=1$, $\Lambda^0_0>0$, содержащая тождественное преобразование.

Группа $P$ — 10-параметрическая: к шести генераторам $M_{\mu\nu}$ группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.