Многообразие

Многообра́зие — топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство $\R^n$. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. Возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например карту полушария, но невозможно составить единую (без разрывов) карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Тем не менее, первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.

Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс «гладких» функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того, чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика.

В классической механике основным многообразием является фазовое пространство. В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используется как модель для пространства-времени.

Топологические многообразия

$n$-мерное топологическое многообразие без края — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству $\R^n$, то есть $n$-мерного Евклидова пространства.

$n$-мерное топологическое многообразие — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству замкнутого полупространства в $\R^n$ (считаем открытыми также объединения открытых подмножеств с пересечением их границы и граничной гиперплоскости).

• Точки, которые имеют открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству $\R^n$, называются внутренними, а множество всех таких точек — внутренность многообразия (это всегда непустое множество).
• Дополнение к внутренности называется краем, это — $(n-1)$-мерное многообразие без края.
• Компактное связное многообразие без границы называется замкнутым.
• Некомпактное связное многообразие называется открытым.

Комментарии

• Условие счётности базы эквивалентно тому, что многообразие вкладывается в Евклидово пространство конечной размерности (то, что такое вложение существует, подтверждает теорема Уитни о вложении).
• Иногда вместо условия счётности базы используется более слабое условие паракомпактности пространства.^[1]
• Введённое здесь понятие края вовсе не равносильно понятию относительной границы в общей топологии.
• Требование хаусдорфовости может показаться излишним; пример пространства, которое локально гомеоморфно евклидовому, но при этом не хаусдорфово, можно построить склеиванием двух копий вещественной прямой по всем точкам, кроме одной.

Гладкие многообразия

Основная статья: Дифференцируемое многообразие

Гладкая структура, определённая ниже, обычно возникает в почти всех приложениях и при этом делает многообразие гораздо удобней в работе.

Начинаем с топологического многообразия $M$ без границы. Назовём картой гомеоморфизм $\varphi$ из открытого множества $U\subset M$ на открытое подмножество $\R^n$.

Набор карт, покрывающих всё $M$, называется атласом.

Если две карты $\varphi$ и $\psi$ накрывают одну точку в $M$, то их композиция $\varphi\circ\psi^{-1}$ задаёт отображение «склейки» из открытого множества $\R^n$ в открытое множество $\R^n$. Если все отображения склейки из класса $C^k$ (то есть $k$ раз непрерывно дифференцируемых функций), то атлас называется $C^k$ атласом (можно также рассматривать $k=\infty$ или $\omega$, что соответствует бесконечно дифференцируемым и аналитическим склейкам).

Пример: сфера может быть покрыта $C^\infty$-атласом из двух карт на дополнениях северного и южного полюсов со стереографическими проекциями по отношению к этим полюсам.

Два $C^k$ атласа задают одну $C^k$-гладкую структуру, если их объединение является $C^k$-атласом.

Для таких многообразий можно ввести понятия касательного вектора, касательного и кокасательного пространств и расслоений.

Для заданной $C^1$-гладкой структуры можно найти $C^\infty$-гладкую структуру, задаваемую новым $C^\infty$-атласом, который задаёт ту же $C^1$-гладкую структуру. Более того, все такие полученные таким образом многообразия являются $C^\infty$-диффеоморфными. Поэтому часто под гладкой структурой понимают $C^1$-гладкую структуру.

Не каждое топологическое многообразие допускает гладкую структуру. Примеры таких «шершавых» многообразий появляются уже в размерности четыре. Также существуют примеры топологических многообразий, которые допускают несколько различных гладких структур. Первый такой пример нестандартной гладкой структуры, так называемая сфера Милнора, был построен Милнором на семимерной сфере.

Примеры

• Простейший пример многообразия — это пространства $\R^n,\;n=0,1,2,\dots$
• Окружность — это многообразие размерности 1. Вообще любой несамопересекающийся контур можно рассматривать как одномерное многообразие. Отметим, что для негладкого контура соответствующее отображение вложения в $\R^n$ не будет отображением гладких многообразий.
• Диск — это многообразие с краем.
• Любая двумерная поверхность без края является примером двумерного многообразия (сфера, тор, крендель, …). По известной топологической классификационной теореме, любое ориентируемое двумерное многообразие имеет вид сферы с несколькими приклеенными ручками.
• Лента Мёбиуса — это пример двумерного неориентируемого многообразия с краем. Пример неориентируемого двумерного многообразия без края — проективная плоскость (многообразие прямых в $\R^3$). Отметим, что его невозможно вложить в $\R^3$.
• Все указанные выше примеры многообразий можно наделить единственным образом гладкой структурой. В более высоких размерностях возможны, однако, разные гладкие структуры на одном и том же топологическом многообразии.
• Нетривиальные примеры многообразий любой размерности — проективные пространства $\R P^n$ (многообразие прямых в $\R^{n+1}$) и грассмановы многообразия $\mathrm{Gr}(k,n)$ (многообразие $k$-мерных подпространств в $\R^n$).

Классификация многообразий

Каждое связное одномерное многообразие без границы гомеоморфно вещественной прямой или окружности

Гомеоморфный класс замкнутой связной поверхности задаётся её Эйлеровой характеристикой и ориентируемостью. (Если ориентируемо, то это сфера с ручками (англ.), если нет, то связная сумма нескольких копий проективной плоскости)

Классификация замкнутых трёхмерных многообразий следует из гипотезы Тёрстона, которая была недавно доказана Перельманом.

Если размерность больше трёх, то классификация невозможна; более того, невозможно построить алгоритм, который определяет, является ли многообразие односвязным. Тем не менее существует классификация всех односвязанных многообразий во всех размерностях ≥ 5.

Можно также классифицировать гладкие многообразия.

• В размерностях 2 и 3 любая пара гомеоморфных многообразий является также диффеоморфной.
• В размерности 4 существуют примеры замкнутых многообразий, которые допускают бесконечное число неэквивалентных гладких структур, а открытые многообразия, как, например, $\R^4$ допускают континуум различных гладких структур.
• В размерностях 5 и выше любое топологическое многообразие допускает не более чем конечное число неэквивалентных гладких структур.

Дополнительные структуры

Часто гладкие многообразия оснащают дополнительными структурами. Вот список наиболее часто встречаемых дополнительных структур:

• Метрический тензор
• Симплектическая форма
• Комплексная структура

Вариации и обобщения

• Орбиобразие
• Псевдомногообразие

См. также

• Алгебраическое многообразие
• Аналитическое многообразие
• Граф-многообразие

Литература

1. ↑ S. Lang Introduction to differentiable manifolds. — 2nd. — Springer-Verlag New York, Inc., 2002. — 250 p. — ISBN 0-387-95477-5

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.