Окружность Аполлония

$\frac{d_1}{d_2}=\textrm{const}$

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D) и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Пусть на плоскости даны две точки $A$ и $B$. Рассмотрим все точки $P$ этой плоскости, для каждой из которых

$\frac{|PA|}{|PB|}=k$,

где $k$ — фиксированное положительное число. При $k=1$ эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку $AB$; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола, постоянной суммы — эллипс, постоянного произведения — овал Кассини.

Свойства

• Радиус окружности Аполлония равен $R=\frac{k}{|k^2-1|}|AB|$
• Отрезок $PC$ между точкой на окружности и точкой пересечения ее с прямой $AB$ является биссектрисой самого угла $\angle APB$ или угла, смежного с ним.
• Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

Приложения

• Одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполония.
• Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.

См. также

• Эллиптические координаты

Примечания