Гёмбёц

Гёмбёц — однородное моно-моностатическое тело

Гёмбёц (венг. gömböc) — пример трёхмерного выпуклого тела с одной устойчивой и одной неустойчивой точкой равновесия, построенный в 2006 году венгерскими математиками Габором Домокошем (Domokos Gábor) и Петером Варконьи (Várkonyi Péter).

История открытия

Звёздчатая черепаха — аналог «неваляшки» в живой природе. Будучи перевернутой вверх ногами, без особых усилий возвращается в «исходное положение»

Хорошо известен принцип действия популярной детской игрушки «неваляшка» — эффект возвращения в одно и то же состояние достигается за счёт смещения центра тяжести. Благодаря этому у неё есть только одно положение устойчивого равновесия (на основании) и только одно положение неустойчивого равновесия (на голове). «Неваляшка» не является геометрическим телом в строгом смысле в силу своей неоднородной плотности — в нижней части неваляшки находится груз. Для математиков долгое время был интересен вопрос существования выпуклого однородного геометрического тела с аналогичными свойствами. Впервые возможность существования таких тел предположил известный российский математик В. И. Арнольд. Сами же тела получили название моно-моностатические.

Поиском «однородной неваляшки» занялись два венгерских математика, Габор Домокош из Будапештского университета технологий и экономики и Петер Варконьи из Принстонского университета. Сначала казалось, что точек равновесия не может быть меньше четырёх: две точки устойчивого и две точки неустойчивого равновесия (для двумерного случая это было давно доказано). Однако в трёхмерном случае удалось сперва доказать существование тела с двумя точками равновесия, а потом и предъявить его пример. Построенное тело получило название «гёмбёц», от венгерского gömb, что значит сфера. Само же слово целиком значит подобный сфере, сферический.

Hydromedusa tectifera как пример плоской черепахи, которая опирается на длинную шею и ноги для возврата в нормальное состояние из перевёрнутого

Свойства

Марка Венгрии, иллюстрирующая одно из 30-ти состояний гёмбёца. К выставке Expo 2010 было выпущено 30 различных марок^[1], по одной на каждое из 30-ти фаз движения^[2].

Главным свойством гёмбёца, ради которого его и построили, является возврат к одному и тому же положению из любого другого на ровной плоскости под воздействием силы тяжести. Это свойство достигается благодаря его особой выпуклой, округлой форме. По виду гёмбёц достаточно близок к сфере, из-за чего, очевидно, и получил своё название. В своей работе, посвящённой изучению гёмбёца^[3], исследователи так характеризуют само тело и его возможные аналоги:

На основе представленных результатов не может не сложиться впечатление, что моно-моностатические тела «прячутся» — их трудно представить, трудно описать и трудно опознать. В частности, мы показали, что их форма не похожа ни на каких типичных представителей других классов равновесия. Мы также показали, что они не плоски и не тонки; по сути, они единственные невырожденные объекты, имеющие одновременно минимальную сплющенность и суженность.

Математическое решение

Эллипс (красным) и его эволюта (синим) с четырьмя вершинами кривой. Каждая вершина соответствует острию на эволюте

Дальнейшие перспективы

Поверхности гёмбёца имеют сложную скруглённую форму, что и придаёт ему столь необычные свойства. Остаётся открытым вопрос: можно ли построить аналогичное тело, все грани которого были бы плоскими? Авторы гёмбёца полагают, что если такой объект существует, то он должен обладать тысячами граней. Этим, видимо, объясняется размер награды, учреждённой ими за его открытие: 10 тыс. долларов, делённые на количество граней^[4].

Примечания

1. ↑ Gömböc Briefmarkenblock  (англ.). Архивировано из первоисточника 24 февраля 2012. Проверено 20 июня 2011.
2. ↑ Gömböc stamp  (англ.) (1 May 2010). Архивировано из первоисточника 24 февраля 2012. Проверено 20 июня 2011.
3. ↑ Varkonyi P. L., Domokos G. Mono-monostatic bodies: the answer to Arnold’s question // The Mathematical Intelligencer. 2006. V. 28 (4). Pp. 34—38.
4. ↑ Boffins develop a «new shape» called Gomboc.

Ссылки

• Официальный сайт гёмбёца.
• Статья о гёмбёце на сайте ScienceNews.
• Статья о гёмбёце на сайте The Age.
• Статья о гёмбёце на русском языке.