Алгоритм Метрополиса — Гастингса

Алгоритм Метрополиса — Гастингса

Алгоритм Метрополиса-Гастингса — алгоритм семплирования, использующийся, в основном, для сложных функций распределения. Он отчасти похож на алгоритм выборки с отклонением, однако здесь вспомогательная функция распределения меняется со временем. Алгоритм был впервые опубликован Николасом Метрополисом в 1953 году, и затем обобщён К. Гастингсом в 1970 году. Семплирование по Гиббсу является частным случаем алгоритма Метрополиса-Гастингса и более популярен за счёт простоты и скорости, хотя и реже применим.

Алгоритм Метрополиса-Гастингса позволяет семплировать любую функцию распределения. Он основан на создании цепи Маркова, то есть на каждом шаге алгоритма новое выбранное значение x^{t + 1} зависит только от предыдущего x^t. Алгоритм использует вспомогательную функцию распределения Q(x' | x^t), зависящую от x^t, для которой генерировать выборку просто (например, Нормальное распределение). На каждом шаге для этой функции генерируется случайное значение x'. Затем с вероятностью

$u = \frac{P(x')Q(x^{t}|x')}{P(x^{t})Q(x'|x^{t})}$

(или с вероятностью 1, если u > 1), выбранное значение принимается как новое: x^{t + 1} = x', а иначе оставляется старое: x^{t + 1} = x^t.

Например, если взять нормальную функцию распределения как вспомогательную функцию, то

$Q( x'| x^t ) \sim N( x^t, \sigma^2 I) \,\!$ .

Такая функция выдаёт новое значение в зависимости от значения на предыдущем шаге. Изначально алгоритм Метрополиса требовал, чтобы вспомогательная функция была симметрична: Q(x',x^t) = Q(x^t,x'), однако обобщение Гастингса снимает это ограничение.

Алгоритм

Пусть мы уже выбрали случайное значение x^t. Для выбора следующего значения сначала получим случайное значение x' для функции Q(x' | x^t). Затем найдем произведение a = a₁a₂, где

$a_1 = \frac{P(x')}{P(x^t)}$

является отношением вероятностей между промежуточным значением и предыдущим, а

$a_2 = \frac{Q(x^t|x')}{Q(x'|x^t)}$

это отношение между вероятностями пойти из x' в x^t или обратно. Если Q симметрична, то второй множитель равен 1. Случайное значение на новом шаге выбирается по правилу:

$\begin{matrix} \mbox{If } a \geq 1: & \\ & x^{t+1} = x', \end{matrix}$

$\begin{matrix} \mbox{and if } a < 1: & \\ & x^{t+1} = \left\{ \begin{matrix} x'\mbox{ with probability }a \\ x^t\mbox{ with probability }1-a. \end{matrix} \right. \end{matrix}$

Алгоритм стартует из случайного значения x⁰, и сначала прогоняется "вхолостую" некоторое количество шагов, чтобы "забыть" о начальном значении.

Лучше всего алгоритм работает тогда, когда форма вспомогательной функции близка к форме целевой функции P. Однако добиться этого априори зачастую невозможно. Для решения этой проблемы вспомогательную функцию настраивают в ходе подготовительной стадии работы алгоритма. Например, для нормального распределения настраивают его параметр σ² так, чтобы доля "принятых" случайных значений (т.е. тех, для которых x^{t + 1} = x') была близка к 60%. Если σ² слишком мала, то значения будут получаться слишком близкими и доля принятых будет высока. Если σ² слишком велика, то с большой вероятностью новые значения будут выскакивать в зоны малой вероятности P, отчего доля принятых значений окажется низкой.