- B-дерево
-
B-дерево Тип Дерево Изобретено в 1972 году Изобретено Rudolf Bayer, Edward M. McCreight Временная сложность
в О-символикеВ среднем В худшем случае Расход памяти O(n) O(n) Поиск O(log n) O(log n) Вставка O(log n) O(log n) Удаление O(log n) O(log n) B-дерево (по-русски произносится как Б-дерево) — структура данных, дерево поиска. С точки зрения внешнего логического представления, сбалансированное, сильно ветвистое дерево во внешней памяти.
Использование B-деревьев впервые было предложено Р. Бэйером (англ. R. Bayer) и Е. МакКрейтом (англ. E. McCreight) в 1970 году.
Сбалансированность означает, что длина любых двух путей от корня до листов различается не более, чем на единицу.
Ветвистость дерева — это свойство каждого узла дерева ссылаться на большое число узлов-потомков.
С точки зрения физической организации B-дерево представляется как мультисписочная структура страниц внешней памяти, то есть каждому узлу дерева соответствует блок внешней памяти (страница). Внутренние и листовые страницы обычно имеют разную структуру.
Содержание
Применение
Структура B-дерева применяется для организации индексов во многих современных СУБД.
B-дерево может применяться для структурирования (индексирования) информации на жёстком диске (как правило, метаданных). Время доступа к произвольному блоку на жёстком диске очень велико (порядка миллисекунд), поскольку оно определяется скоростью вращения диска и перемещения головок. Поэтому важно уменьшить количество узлов, просматриваемых при каждой операции. Использование поиска по списку каждый раз для нахождения случайного блока могло бы привести к чрезмерному количеству обращений к диску, вследствие необходимости осуществления последовательного прохода по всем его элементам, предшествующим заданному; тогда как поиск в B-дереве, благодаря свойствам сбалансированности и высокой ветвистости, позволяет значительно сократить количество таких операций.
Относительно простая реализация алгоритмов и существование готовых библиотек (в том числе для C) для работы со структурой B-дерева обеспечивают популярность применения такой организации памяти в самых разнообразных программах, работающих с большими объёмами данных.
Структура и принципы построения
B-деревом называется дерево, удовлетворяющее следующим свойствам:
- Каждый узел содержит хотя бы один ключ. Ключи в каждом узле упорядочены. Корень содержит от 1 до 2t-1 ключей. Любой другой узел содержит от t-1 до 2t-1 ключей. Листья не являются исключением из этого правила. Здесь t - параметр дерева, не меньший 2 (и обычно принимающий значения от 50 до 2000[1]).
- Любой узел кроме листа, содержащий ключи , ..., , содержит сыновей. При этом
- Первый сын и все его потомки содержат ключи из интервала
- Для , i-й сын и все его потомки содержат ключи из интервала
- -й сын и все его потомки содержат ключи из интервала
- Глубина всех листьев одинакова.
Свойство 2 можно сформулировать иначе: каждый узел B-дерева, кроме листьев, можно рассматривать как упорядоченный список, в котором чередуются ключи и указатели на сыновей.
Поиск
Если ключ содержится в корне, он найден. Иначе определяем интервал и идём к соответствующему сыну. Повторяем, пока не дошли до листа.
Добавление ключа
Будем называть деревом потомков некоего узла поддерево, состоящее из этого узла и его потомков.
Вначале определим функцию, которая добавляет ключ K к дереву потомков узла x. После выполнения функции во всех пройденных узлах, кроме, может быть, самого узла x, будет меньше , но не меньше , ключей.
- Если х - не лист,
- Определяем интервал, где должен находиться K. Пусть y - соответствующий сын.
- Рекурсивно добавляем K к дереву потомков y.
- Если узел y полон, то есть содержит ключей, расщепляем его на два. Узел получает первые из ключей y и первые его потомков, а узел - последние из ключей y и последние его потомков. Медианный из ключей узла y попадает в узел х, а указатель на y в узле x заменяется указателями на узлы и .
- Если x - лист, просто добавляем туда ключ K.
Теперь определим добавление ключа K ко всему дереву. Буквой R обозначается корневой узел.
- Добавим K к дереву потомков R.
- Если R содержит теперь ключей, расщепляем его на два. Узел получает первые из ключей R и первые его потомков, а узел - последние из ключей R и последние его потомков. Медианный из ключей узла R попадает вo вновь созданный узел, который становится корневым. Узлы и становятся его потомками.
Удаление ключа
Если корень одновременно является листом, то есть в дереве всего один узел, мы просто удаляем ключ из этого узла. В противном случае сначала находим узел, содержащий ключ, запоминая путь к нему. Пусть этот узел - .
Если - лист, удаляем оттуда ключ. Если в узле осталось не меньше ключей, мы на этом останавливаемся. Иначе мы смотрим на количество ключей в следующем, а потом в предыдущем узле. Если следующий узел есть, и в нём не менее ключей, мы добавляем в ключ-разделитель между ним и следующим узлом, а на его место ставим первый ключ следующего узла, после чего останавливаемся. Если это не так, но есть предыдущий узел, и в нём не менее ключей, мы добавляем в ключ-разделитель между ним и предыдущим узлом, а на его место ставим последний ключ предыдущего узла, после чего останавливаемся. Наконец, если и с предыдущим ключом не получилось, мы объединяем узел со следующим или предыдущим узлом, и в объединённый узел перемещаем ключ, разделяющий два узла. При этом в родительском узле может остаться только ключей. Тогда, если это не корень, мы выполняем аналогичную процедуру с ним. Если мы в результате дошли до корня, и в нём осталось от 1 до ключей, делать ничего не надо, потому что корень может иметь и меньше ключей. Если же в корне не осталось ни одного ключа, исключаем корневой узел, а его единственный потомок делаем новым корнем дерева.
Если - не лист, а K - его -й ключ, удаляем самый правый ключ из поддерева потомков -го сына , или, наоборот, самый левый ключ из поддерева потомков -го сына . После этого заменяем ключ K удалённым ключом. Удаление ключа происходит так, как описано в предыдущем абзаце.
Основные достоинства
- Во всех случаях полезное использование пространства вторичной памяти составляет свыше 50 %. С ростом степени полезного использования памяти не происходит снижения качества обслуживания.
- Произвольный доступ к записи реализуется посредством малого количества подопераций (обращения к физическим блокам).
- В среднем достаточно эффективно реализуются операции включения и удаления записей; при этом сохраняется естественный порядок ключей с целью последовательной обработки, а также соответствующий баланс дерева для обеспечения быстрой произвольной выборки.
- Неизменная упорядоченность по ключу обеспечивает возможность эффективной пакетной обработки.
Основной недостаток В-деревьев состоит в отсутствии для них эффективных средств выборки данных (т.е. метода обхода дерева), упорядоченных по отличному от выбранного ключу.
См. также
Литература
- Ананий В. Левитин. Глава 7. Пространственно-временной компромисс: B-деревья // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Algorithms. — М.: Вильямс, 2006. — С. 331—339. — ISBN 0-201-74395-7
- Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. Глава 18. B-деревья // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2006. — С. 515—536. — ISBN 0-07-013151-1
Ссылки
- http://www.unix.org.ua/osbd/glava_39.htm
- http://algolist.manual.ru/ds/s_btr.php
- Визуализаторы В-деревьев
Примечания
- ↑ Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. Глава 18. B-деревья // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2006. — С. 515—536. — ISBN 0-07-013151-1
Дерево (структура данных) Двоичное дерево поиска · Дерево (теория графов) · Древовидная структура Двоичные деревья Двоичное дерево · T-дерево Самобалансирующиеся двоичные деревья АА-дерево · АВЛ-дерево · Красно-чёрное дерево · Расширяющееся дерево · Дерево со штрафами · Декартово дерево · Дерево Фибоначчи B-деревья B-дерево · 2-3-дерево · B+ дерево · B*-дерево · UB-дерево · 2-3-4 дерево · (a,b)-дерево · Танцующее дерево Префиксные деревья Суффиксное дерево · Radix tree · Ternary search tree Двоичное разбиение пространства k-мерное дерево · VP-дерево Недвоичные деревья Дерево квадрантов · Октодерево · Sparse Voxel Octree · Экспоненциальное дерево · PQ-дерево Разбиение пространства R-дерево · R+-дерево · R*-дерево · X-дерево · M-дерево · Дерево Фенвика · Дерево отрезков Другие деревья Куча · TTH · Finger tree · Metric tree · Cover tree · BK-tree · Doubly-chained tree · iDistance · Link-cut tree Алгоритмы Поиск в ширину · Поиск в глубину · DSW-алгоритм · Алгоритм связующего дерева Структуры данных (список) Типы Массивы Ассоциативный массив • Multimap • Множество • Мультимножество • Хеш-таблица
Списки Деревья B-дерево • Двоичное дерево поиска • Куча
Графы Категория:- Деревья (структуры данных)
Wikimedia Foundation. 2010.