Система координат


Система координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

В географии координаты — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). См. географические координаты.

В астрономии координаты — величины, при помощи которых определяется положение звезды, например, прямое восхождение и склонение.

Небесные координаты — числа, с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой систему полярных координат на сфере с соответствующим образом выбранным полюсом. Систему небесных координат задают большим кругом небесной сферы (или его полюсом, отстоящим на 90° от любой точки этого круга) с указанием на нём начальной точки отсчёта одной из координат. В зависимости от выбора этого круга системы небесных координат называлась горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической.

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

Содержание

Список наиболее распространённых систем координат

Основные системы

В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.

Декартовы координаты

Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел (x, y):

  • x — расстояние от точки P до оси y с учетом знака
  • y — расстояние от точки P до оси x с учетом знака

В пространстве же необходимо уже 3 координаты (x, y, z):

  • x — расстояние от точки P до плоскости yz
  • y — расстояние от точки P до плоскости xz
  • z — расстояние от точки P до плоскости xy

Полярные координаты

Полярные координаты.

В полярной системе координат положение точки определяется расстояние до центра координат и углом радиус-вектора с осью Ox.

Термин «полярные координаты» используется только на плоскости, в пространстве применяются цилиндрические и сферические системы координат.

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты.

Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем (r, \theta, h). В терминах декартовой системы координат,

  • 0\leq{r} (радиус) — расстояние от оси z к точке P,
  • 0\leq\theta<360^\circ (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость
  • h (высота) — расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.
Примечание: в литературе можно встретить пометку z для h; это не принципиально, но нужно следить, какие отметки применяются.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение θ теряет смысл, если r = 0.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение 2x+2y=2c, тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = c

Сферические координаты

Сферические координаты.

Сферические координаты — трехмерный аналог полярных

Обозначения, принятые в Америке

В сферической системе координат, расположение точки P определяется тремя компонентами: (\rho, \phi, \theta). В терминах декартовой системы координат,

  • 0\leq\rho (радиус) — это расстояние от точки Р до полюса,
  • 0\leq\phi\leq 180^\circ (широта или полярный угол) — угол между z-осью и прямой, проведённой из полюса до точки P
  • 0\leq\theta<360^\circ (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой» x-осью и проекцией прямой, проведённой из полюса до точки P на xy-плоскость.
Примечание: в литературе можно встретить пометку φ или θ, а также r для ρ;

Сферическая система координат также имеет недостаток: φ теряет смысл если ρ = 0, также и θ теряет смысл, если ρ = 0 или φ = 0 или φ = 180°.

Для построения точки по её сферическими координатами, нужно: от полюса отложить отрезок, равный ρ вдоль положительной z-оси, вернуть его на угол φ вокруг оси y в направлении положительной x-оси, и вернуть на угол θ вокруг z-оси в направлении положительной y-оси.

Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных вокруг точки. Так, уравнение сферы в декартовых координатах выглядит как x^2+y^2+z^2=c^2, тогда как в сферических становится намного проще: \rho=c.

Европейские обозначения

В Европе принято использовать другие обозначения. Положение точки задаётся числами:  (r, \theta, \varphi) , Где r — расстояние от точки до начала координат,  \theta  — полярный угол, который изменяется в пределах от 0 до π,  \varphi  — Азимутальный угол, который изменяется в пределах от 0 до 2π. То есть, в европейской системе, которая применяется также и в России, обозначения для углов переставлены по сравнению с американской.

Переход из одной системы координат в другую

Декартовы и полярные

x=r\,\cos\theta \quad
y=r\,\sin\theta \quad
r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta
= \arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y

где u0 — функция Хевисайда с  u_0(0)=0 , а sgn — функция signum . Здесь функции u0 и sgn используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если .. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию atan2 (y, x), которая находит правильный θ в необходимом квадранте, определённом x и y.

Декартовы и цилиндрические

x=r\,\cos\theta
y=r\,\sin\theta
z=h \quad
r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta
=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y
h=z \quad

\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\cos\theta&-r\sin\theta&0\\
\sin\theta&r\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}

Декартовы и сферические

Уравнения для американских обозначений

{x}=\rho \, \sin\phi \, \cos\theta \quad
{y}=\rho \, \sin\phi \, \sin\theta \quad
{z}=\rho \, \cos\phi \quad
{\rho}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
{\phi}=\arccos\frac{z}{\rho}
{\phi}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}
{\theta}
=\arctan\frac{y}{x} + \pi\, u_0(-x)\, \operatorname{sgn} y

\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\
\sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\
\cos\phi&-\rho\sin\phi&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{x}{\rho}&\frac{y}{\rho}&\frac{z}{\rho}\\
\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}

Цилиндрические и сферические

{r}=\rho \,\sin\phi
{\theta}=\theta \quad
{h}=\rho \,\cos\phi
{\rho}=\sqrt{r^2+h^2}
{\phi}
=\arctan\frac{h}{r} + \pi \, u_0(-r) \, \operatorname{sgn} h
{\theta}=\theta \quad

\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\sin\phi&\rho\cos\phi&0\\
0&0&1\\
\cos\phi&-\rho\sin\phi&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}&0&\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\\
\frac{-h}{r^2+h^2}&0&\frac{r}{r^2+h^2}\\
0&1&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}

См. также

Литература

  • Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Система координат" в других словарях:

  • СИСТЕМА КООРДИНАТ — совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… …   Большая политехническая энциклопедия

  • СИСТЕМА КООРДИНАТ — СИСТЕМА КООРДИНАТ, система отсчета, используемая для определения положения точки в пространстве. Точку можно определить при помощи чисел, представляющих собой расстояния или углы, измеренные от точки до точек или прямых отсчета. В ДЕКАРТОВОЙ… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • система координат — — [http://www.eionet.europa.eu/gemet/alphabetic?langcode=en] EN co ordinate system A reference system used to measure horizontal and vertical distances on a planimetric map. A coordinate system is usually defined by a map projection, a… …   Справочник технического переводчика

  • система координат (мн.) — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN coordinate …   Справочник технического переводчика

  • система координат — 3.37 система координат: Набор математических правил, описывающих, как координаты должны быть соотнесены сточками пространства. Источник: ГОСТ Р 52572 2006: Географические информационные системы. Координатная основа. Общие требования …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • система координат (х, у) — 3.1.3 система координат (х, у) [coordinate system (x, у)]: Плоская система координат, где ось х обозначает линию огня с началом координат х = 0 на конце ствола; у расстояние по перпендикуляру к линии огня в любой плоскости, проходящей через линию …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • система координат — koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. coordinate system; frame of axes; system of axes vok. Achsenkreuz, n; Koordinatensystem, n rus. координатная система, f; система координат, f pranc. système de coordonnées, m …   Fizikos terminų žodynas

  • система координат — koordinačių sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. coordinate system vok. Koordinatensystem, n rus. система координат, f pranc. système de coordonnées, m …   Automatikos terminų žodynas

  • Система координат — совокупность, состоящая из двух пересекающихся прямых (осей) на плоскости или трех пересекающихся плоскостей в пространстве, позволяющая определять по отношению к ним положение точки, а следовательно, любой фигуры в пространстве. Различают… …   Начала современного естествознания

  • Система координат — совокупность точек, линий или поверхностей, относительно которых определяется положение любых объектов на поверхности или в пространстве. Линейные и угловые величины, определяющие положение объекта в какой либо С. к., называются его координатами …   Словарь военных терминов

Книги

Другие книги по запросу «Система координат» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.