- Интегральная формула Коши
-
В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи.Содержание
Формулировка
Пусть — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция — голоморфна в и — точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:
Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри , и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.
Доказательство
Рассмотрим окружность Sρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z0. В области, ограниченной контурами Γ и Sρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ρ имеем равенство:
Для расчёта интегралов по применим параметризацию .
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая :Воспользуемся ею для доказательства общего случая:
Так как функция комплексно дифференцируема в точке , то:
Интеграл от равен нулю:
Интеграл от члена может быть сделан сколь угодно мал при . Но поскольку он от вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что
Следствия
Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:
Аналитичность голоморфных функций
В окрестности любой точки из области, где функция голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:
- ,
причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке , в котором функция голоморфна, а коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:
- .
Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов функций, голоморфных в круге :
- ,
где — максимум модуля функции на окружности , а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.
Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы
получается интегральное представление производных функции :
Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области , если это семейство равномерно ограничено в . В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области , можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в к некоторой голоморфной функции равномерно.
Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях
Если функция голоморфна в области вида , то в ней она представима суммой ряда Лорана:
- ,
причём коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:
- ,
а сам ряд Лорана сходится в к функции равномерно на каждом компакте из .
Формула для коэффициента часто применяется для вычисления интегралов от функции по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.
Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.
Теоремы о среднем для голоморфных функций
Если функция голоморфна в круге , тогда для каждого
а также если — круг радиуса с центром в , тогда
Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция голоморфна в области и внутри её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.
Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция голоморфна в области и внутри её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.
Теоремы о единственности
Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:
- лемма Шварца: если функция голоморфна в круге , и для всех точек из этого круга , тогда всюду в этом круге ,
- теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке , совпадают в некоторой окрестности этой точки,
- теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции , голоморфной в области имеют предельную точку внутри , тогда функция равна нулю всюду в .
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Интегральная формула Коши (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
- Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
- Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Категория:- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.