Теорема де Гуа

Иллюстрация теоремы де Гуа

Теоре́ма де Гуа — одно из обобщений теоремы Пифагора на старшие размерности.

Высечем из куба пирамиду, отрезав плоскостью одну из его вершин. Тогда для такой пирамиды верно следующее соотношение: квадрат площади грани противолежащей вершине куба (вершине при прямом угле) равен сумме квадратов площадей граней прилежащих к этому углу (см. рисунок).

$S_{ABC}^2 = S_{ABD}^2 +S_{BDC}^2+S_{ADC}^2.\$

Иными словами, если мы заменим плоский прямой угол трехмерным, отрезки — гранями, а треугольник — пирамидой, то теорема снова окажется верна, но не для длин сторон, а для площадей граней полученной пирамиды.

Существует обобщение этой теоремы для N-мерного пространства^[1].

О доказательстве

Доказательство 1

Выразим ребра DA, DB и DC прямоугольного тетраэдра через единичные координатные векторы $\vec e_1$, $\vec e_2$ и $\vec e_3$^[1]:

$DA = a \vec e_1; \quad DB = b \vec e_2; \quad DC = c \vec e_3,$

где $~a, b, c$ — длины соответствующих сторон тетраэдра.

Для векторов AB и АС имеем:

$AB = b \vec e_2 - a \vec e_1; \quad AC = c \vec e_3 - a \vec e_1.$

Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения двух его сторон,

$S_{ABC} = \frac{1}{2}(b \vec e_2 - a \vec e_1) \times (c \vec e_3 - a \vec e_1).$

Возведя последнее выражение в квадрат и раскрыв скобки c учётом того, что попарные векторные произведения единичных координатных векторов равны единице, получим

$S^2_{ABC} = \frac{1}{4}(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2).$

Площади граней ABD, ACD и BCD равны

$S_{ABD} = \frac{ab}{2}; \quad S_{ACD} = \frac{ac}{2}; \quad S_{BCD} = \frac{bc}{2},$

откуда

$S^2_{ABC} = S^2_{ABD} + S^2_{ACD} + S^2_{BCD}.$

Доказательство 2

Известно, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади этой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между фигурой и плоскостью проекции^[2]. Проекциями треугольника ABC на координатные плоскости являются треугольники ABD, ACD и BCD. Поэтому

$~S_{ABD} = S_{ABC} \cos \alpha ; \quad S_{ACD} = S_{ABC} \cos \beta ; \quad S_{BCD} = S_{ABC} \cos \gamma,$

где $~\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ — напрявляющие косинусы нормали к плоскости ABC.

Согласно свойству направляющих косинусов

$~\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1,$

откуда

$~S^2_{ABC} = S^2_{ABC} \cos^2 \alpha + S^2_{ABC} \cos^2 \beta + S^2_{ABC} \cos^2 \gamma$

и

$S^2_{ABC} = S^2_{ABD} + S^2_{ACD} + S^2_{BCD}.$

Доказательство 3

Теорема может быть доказана из формулы Герона для площади треугольника и теоремы Пифагора.

История

В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа (фр.), однако ранее она была известна Рене Декарту^[3] и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл ее в 1622 году^[4]. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году^[4]

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Sergio A. Alvarez Note on an n-dimensional Pythagorean theorem.
2. ↑ Osgood, W. F. and Graustein, W. C. Plane and Solid Analytic Geometry. New York: Macmillan, Th. 2, p. 517, 1930.
3. ↑ Descartes, R. Œuvres inédites de Descartes. Paris, 1859.
4. ↑ ^{1 2} Altshiller-Court, N. Modern Pure Solid Geometry. New York: Chelsea, pp. 92 and 300, 1979.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. de Gua's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Amir-Moéz, A.R.; Byerly, R.E. Pythagorean theorem in unitary spaces. — Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 7 (1996), 85–89.
• Cho, E.C. Pythagorean theorems on rectangular tetrahedron. — Appl. Math. Lett., vol. 4 (1991), no. 6, 37–38.
• Czyżewska, K. Generalization of the Pythagorean theorem. — Demonstratio Math., vol. 24 (1991), no. 1-2, 305–310.
• Lin, S-Y T.; Lin, Y-F. The n-Dimensional Pythagorean Theorem. — Linear and multilinear algebra, vol. 26, no. 1/2, 1990
• Yoshinaga, E.; Akiba, S. Very simple proofs of generalized Pythagorean theorem. — Sci. Rep. Yokohama Nat. Univ. Sect. I Math. Phys. Chem., No. 42 (1995), 45–46.
• Peter Wakefield Sault A 3D analogue of Phythagoras's theorem.
• Istvan Meder Pythagorean Theorem in the n-dimensional space
• P. S. Donchian and H. S. M. Coxeter An n-dimensional extension of Pythagoras’ Theorem. Math. Gazette, 19:206, 1935.
• J.-P. Quadrat, J. B. Lassere, and J.-B. Hiriart-Urruty Pythagoras’ theorem for areas. American Mathematical Monthly, 108:549–551, 2001.