- Характер биквадратичного вычета
-
Характер биквадратичного вычета – теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.
Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.
Содержание
Определение
Рассмотрим D=Z[i] – кольцо целых алгебраических чисел, то есть чисел вида
,
({{{2}}}) где a и b – целые числа.
Пусть - простое в кольце D с нормой . Определим характер биквадратичного вычета следующим образом:
- , если делится на .
- иначе.
Заметим, что при , не делящем , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: .
Биквадратичный закон взаимности
Назовём , не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала . При этом неединица примарна тогда и только тогда, когда , или , .
Пусть и - взаимно простые примарные элементы в D, тогда
({{{2}}}) Другие свойства характера биквадратичного вычета
- тогда и только тогда, когда сравнение разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда - биквадратичный вычет
- Мультипликативность:
- Периодичность: если , то
- Если - простое примарное, то
Список литературы
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.
- Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4
Характеры в теории чисел и Характер в теории групп Квадратичные характеры Символ Лежандра • Символ Якоби • Символ Кронекера — Якоби Характеры степенных вычетов Характер кубического вычета • Характер биквадратичного вычета • Символ степенного вычета Категория:- Теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.