Пространство основных функций

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).

При этом если обобщённые функции имеют большое значение в функциональном анализе и математической физике, то пространство основных функций используется лишь однажды — как основа для строительства обобщённых функций.

Обычно в качестве пространства основных функций $\mathcal{D}(\Omega)$ выбирается пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций $C_0^\infty(\Omega)$, на котором вводится следующая сходимость (топология):

Последовательность $\left\{u_j\right\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal{D}(\Omega)$ сходится к $u\in\mathcal{D}(\Omega)$, если:

1. Функции $u_j$ равномерно финитны, то есть $\exists K$ — компакт в $\Omega$ и в том числе $\forall j\;\mathrm{supp}\,u_j\subset K$.
2. $\forall\alpha\;D^{\alpha}u_j(x)\to D^{\alpha}u(x)$ равномерно по $x$.

Здесь $\Omega$ — ограниченная область в $\R^n$.

Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного вводится пространство Шварца $\mathcal S = \mathcal S(\mathbb R^n)$ — бесконечно гладких на $\mathbb R^n$ функций, убывающих при $|x|\to\infty$ быстрее любой степени $|x|^{-1}$ вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций $\phi_1, \phi_2,\dots$ сходится к $\phi^*$, если

$\forall\alpha,\beta\in\mathbb N\ |x|^\alpha D^\beta\phi_j(x)\to |x|^\alpha D^\beta\phi^*(x)$ равномерно по $x$.

Литература

• В.С. Владимиров Обобщённые функции в математической физике. — изд. 2-е. — М.: Наука, 1979. — 320 с.

См. также

• Обобщённая функция
• Финитная функция