- Порядок Шарковского
-
Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:
- → 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → …
- → 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → …
- → 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → …
- …………………………………
- → 2n → 2n-1 → … → 25 → 24 → 2³ → 2² → 2 → 1.
В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху — произведения нечетных чисел на . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.
В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, — так, её энтропия будет положительна).
Период 3 влечёт хаос
Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки , для которых
Можно без ограничения общности считать, что .
Тогда для отрезков и выполнено
Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что
Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка выполнено
поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения , , дополнение) её судьба это последовательность , у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.
Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.История
Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение, украинский математик А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» — узкие интервалы значений параметра (см. квадратичное отображение), в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.
Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.Литература
- А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
- Ю. А. Данилов. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.
Категории:- Теория хаоса
- Динамические системы
Wikimedia Foundation. 2010.