Квантовый эффект Шоттки

Классический эффект Шоттки может иметь место на поверхности раздела $~\rm{Si-SiO_2}$, где мобильный заряд в диэлектрике ($~\rm{SiO_2}$) равен:

$Q_{ss}^* = qN_{ss}^*$,

который учитывает металлическую часть (конкретный физический механизм его создания неважен) и позволяет выполнения механизма отображение для зарядов относительно $~\rm{Si-SiO_2}$ плоскости симметрии.

Электрон, который находится в вакууме (полупроводник) на некотором расстоянии $x$ от поверхности металла, индуцирует по его пребыванию поверхности положительный заряд. Сила притяжения между электроном и этим индуцированным поверхностным зарядом ровна по величине силе притяжения к эффективному положительному заряду $+q$, который называют зарядом изображения. Эта сила, которая также называется силой изображения, равна:

$~F = \frac{-q^2}{4\pi (2x)^2\epsilon_0 \epsilon_s} = \frac{-q^2}{16\pi\epsilon_0 \epsilon_s x^2},$

где $~\epsilon_0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума, $~\epsilon_s$ — относительная диэлектрическая проницаемость поверхности полупроводника. Работа, которую нужно выполнить чтобы переместить электрон с бесконечности в точку $x$, равна:

$A(x) = \int_{\infty}^{x} F\, dx = \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 x},$

Если приложено внешнее электрическое поле $E$, то потенциальная энергия электрона $W_P$ будет равна сумме:

$W_P(x) = \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 \epsilon_sx} + qEx$ эВ.

Снижение барьера Шоттки $\Delta \phi$ и расстояние $x_m$, при котором величина потенциала достигает максимума, определяется с условия $\frac{d[W_P(x)]}{dx} = 0$. Откуда находим:

$x_m = \sqrt{\frac{q}{16\pi\epsilon_0 \epsilon_sE}}$ см,

$\Delta \phi = \sqrt{\frac{qE}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_s}} = 2Ex_m$ В.

В общем случае квантовый эффект Шоттки связан с проблемой атома Бора, дискретная энергия которых может быть записанная в виде:

$W_{B0} = \frac{\hbar \;^2}{2m(na_B)^2}, n = 1,2,...$

где $a_B$- боровский радиус, и с проблемой Эйри (треугольной потенциальной ямы), что имеет энергетические уровни:

$U_{An} = \eta_n \big(\frac{q\hbar \; E_n}{\sqrt{2m}} \big)^{2/3}$

где $\eta_n$- корни функции Эйри. Поскольку атомная проблема относится к класса 3D- проблем (трёхмерным), а проблема Эйри есть типичная одномерная (1D-), их совместное решение представляет трудную задачу. Поэтому здесь мы воспользуемся квазиклассическим приближением первого порядка, чтобы решить проблему движения зарядов в 1D- размерности у поверхности раздела $Si- SiO_2$. Как известно, квантовое движение свободной частицы может быть представлено в виду плоской волны:

$\psi (x) \sim \; exp(ikx),$

где $k$ - волновой вектор, а кинетическая энергия:

$W = \frac{(\hbar \;k)^2}{2m}$.

В случае наличия центров рассеяния волновой вектор удовлетворяет условию:

$k(2x) = 1$, и потому одночастная кинетическая энергия могут быть переписана в виде:

$W_{II} = \frac{\hbar \;^2}{8mx^2}.$

Рассмотрим случай наличия одной частицы, чью полную энергию можно записать в виде:

$W_{II\Sigma}(X) = W_{II} + U_{II} = \frac{\hbar \;^2}{8mx^2} + qxE.$

Дифференцируя последнее уравнение по $x$, получится экстремальное значение координаты:

$x_{IIm} = \big(\frac{\hbar \;^2}{4mqE}\big)^{1/3}$

и в барьере Шоттки:

$\Delta \phi = \frac{W_{II\Sigma}(X)}{q} = \frac{3}{2q}(\frac{q\hbar \;E}{2\sqrt{m}})^{2/3}$

Электрическое поле $E$ в последнем уравнении должно иметь только дискретные значения в квантовом случае, которые можно найти следующим образом. По-видимому, что у задачи Бора используется взаимодействие двух частиц. Для двух частиц в нашем случае кинетическая энергия должна быть уменьшена в 2 раза. Тогда полная энергия может быть переписана в виде:

$W_{2I\Sigma}(X) = W_{2I} + U_{2I} = \frac{\hbar \;^2}{16mx^2} + qxE.$.

Дифференцируясь это уравнение получим значение координаты в точке экстремума:

$x_{2Im} = 0.5\big(\frac{\hbar \;^2}{mqE}\big)^{1/3}$, и кинетической энергии:

$W_{21}(x_m) = 2^{-5/3}(\frac{\hbar \;qE}{\sqrt{2m}})^{2/3}$,

как и потенциальной энергии:

$U_{21}(x_m) = 2^{-2/3}(\frac{\hbar \;qE}{\sqrt{2m}})^{2/3}$.

Используя условия сшивки

$W_{21}(x_m) = W_{Bn}$, и $U_{21}(x_m) = U_{A0}$

получится оценка для электрического поля:

$E_{0n} = 2^{3/2}n^{-3}\eta_0^{-3/2}E_B,$,

где $E_B = \frac{\hbar \;^2}{2mqa_B^3} = 2,5711 \cdot 10^{11}$ В/м, а $\eta_0 = 2,33811$- первый корень функции Эйри.

См. также

• Эффект Шоттки
• Плоский атом

Литература

• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739–1751