Матрица перехода

У этого термина существуют и другие значения, см. Цепи_Маркова#Переходная матрица и однородные цепи.

Ма́трицей перехо́да от базиса $\langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle$ к базису $\langle b_1, b_2, \ldots, b_n \rangle$ является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов $\langle b_1, b_2, \ldots, b_n \rangle$ в базисе $\langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle$.

Обозначается $P_{a \rightarrow b} \in F^{n*n}$

Представление

Так как

$\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{12}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{1n}\mathbf{a}_n$.

$\mathbf{b}_2 = \alpha_{21}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{2n}\mathbf{a}_n$.

$\ldots$.

$\mathbf{b}_n = \alpha_{n1}\mathbf{a}_1 + \alpha_{n2}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n$.

Матрица перехода это

$\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{21}&... & \alpha_{n1} \\ \alpha_{12} & \alpha_{22}&... & \alpha_{n2} \\ ...&...&...&... \\\alpha_{1n} & \alpha_{2n}&... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}$

Использование

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису $a_1, a_2, \ldots, a_n$, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис $b_1, b_2, \ldots, b_n$.

Из-за того, что матрица перехода уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов $R^n$в другие базисы, она используется в трёхмерном моделировании.

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Матрицы наиболее распространённых преобразований
	В двумерных координатах	В однородных двумерных координатах	В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование При a, b и c - коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:	$\begin{bmatrix} a&0 \\ 0&b\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} a&0&0 \\ 0&b&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} a&0&0&0 \\ 0&b&0&0 \\ 0&0&c&0 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix}$
Поворот При φ - угол поворота изображения в двухмерном пространстве	По часовой стрелке $\begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	Относительно OX на угол φ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi&\sin\phi& 0 \\ 0 &-\sin\phi&\cos\phi& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	Относительно OY на угол ψ $\begin{bmatrix} \cos\psi& 0 &\sin\psi& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\psi& 0 &\cos\psi& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
	Против часовой стрелки $\begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}$		Относительно OZ на угол χ $\begin{bmatrix} \cos \chi &\sin \chi & 0 & 0 \\ -\sin \chi &\cos \chi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Перемещение При a, b и c - смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.	В неоднородных координатах не имеет матричного представления.	$\begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Свойства

• Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
• $P_{e \rightarrow e'}^{-1} = P_{e' \rightarrow e}$

Пример поиска матрицы

Найдём матрицу перехода от базиса $a_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ к единичному базису $b_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ путём элементарных преобразований

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 & | & 1&0 &0 \\ 2 & -4 & 1& |& 0&1&0 \\ -1 & 2 & 0 & | &0&0&1 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2&-10 &-19 \\ 0 & 1 & 0& |& 1&-5&-9 \\ 0 & 0 & 1 & | &0&1&2\end{pmatrix}$ следовательно $P_{a \rightarrow b}=\begin{pmatrix}2&-10 &-19 \\ 1&-5&-9 \\ 0&1&2 \end{pmatrix}$

См. также

• Цепи Маркова
• Стохастическая матрица
• Матрица поворота

Ссылки

• Матрицы перехода от базиса к базису