- Осциллятор Чуа
-
Осциллятор Чуа
Простейшая электрическая цепь, демонстрирующая режимы хаотических колебаний. Была предложена профессором Калифорнийского университета Леоном Чуа в 1983 году. Цепь состоит из двух конденсаторов, катушки индуктивности, линейного резистора и нелинейного резистора (обычно называемого диодом Чуа).
Уравнение цепи имеет вид:
где — кусочно-линейная функция, определенная какЭто соотношение представлено графически на рисунке 2: крутизна внутреннего и внешнего участков есть Ga и Gb, соответственно; при этом точки ±Е соответствуют изломам на графике.
Выполним следующие замены на безразмерные коэффициенты:
Основная система уравнений запишется в виде:
где
Схема Чуа обнаруживает хаотические режимы колебаний в довольно узкой области параметров схемы. Основные режимы колебаний условно показаны на рисунке 3.
В случае, когда параметры α и β принадлежат области, обозначенной на диаграмме словами «Нет автоколебаний» в системе существуют два устойчивых положения равновесия d и -d и одно неустойчивое, находящееся в начале координат 0. В этом случае схема Чуа в зависимости от начальных условий может находиться в одном из двух устойчивых положений равновесия. В случае, когда параметры системы находятся в области помеченной словами «Периодические колебания» в окрестности точки равновесия d или -d существует устойчивый предельный цикл. По мере приближения к границе с хаотическим режимом, система претерпевает цикл удвоений периода. Приращение значений параметра перед наступлением каждой последующей бифуркации удвоения периода уменьшается согласно соотношению Фейгенбаума. При попадении параметров в область «Хаос» образуется странный аттрактор (рисунок 4), называемый «двойной завиток» («double scroll»). При этом типе поведения траектория система проходит в окрестности и верхнего, и нижнего положения равновесия. Внутри области существования аттрактора «double scroll» также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области аттрактора Рёсслера. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия. Когда параметры α и β переходят в область, помеченную на рисунке 3 как «Разгон», в колебательной системе наблюдаются периодические колебания нарастающей амплитуды. Поскольку диод Чуа реализуется на операционных усилителях, он имеет ограниченный динамический диапазон и поэтому в системе существует также большой по размерам устойчивый предельный цикл, охватывающий все сегменты характеристики диода Чуа.На рисунках 5 , 6 показаны временные зависимости колебаний, обнаруживаемых данной системой.
Лёгкость практической реализации а также наличие относительно простой математической модели делает осциллятор Чуа удобной моделью при изучении теории хаоса.
Литература
- Бугаевский М. Ю., Пономаренко В. И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.
- Matsumoto, T. [1984] "A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit, " IEEE Transactions on Circuits & Systems, vol.CAS-31, no.12, pp.1055-1058.
- Chua, LO., Komuro, M., Matsumoto, T. [1986] "The Double Scroll Family, " IEEE Transactions on Circuits & Systems, vol.CAS-33, no.11, pp.1073-1118.
- T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro «Birth and death of the double scroll» Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan. / Feb. 1987)
Ссылки
- Chua’s Circuit: Diagram and discussion
- NOEL laboratory. Leon O. Chua’s laboratory at the University of California, Berkeley
- References
- ТИИЭР Том 75 № 8 Август 1987
Wikimedia Foundation. 2010.