Ряд Лиувилля — Неймана

Ряд Лиувилля — Неймана

В интегральном исчислении бесконечный ряд Лиуви́лля — Не́ймана соответствует решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром.

Получение ряда

Будем искать решение уравнения Фредгольма

$u(x)=\lambda\int\limits_G K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)$

методом последовательных приближений, положив u⁽⁰⁾(x) = f(x):

$u^{(p)}(x)=\lambda\int\limits_G K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda(Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots$

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

$u^{(p)}=\sum_{k=0}^p\lambda^k(K^kf)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots$

Функции (K^pf)(x) называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на G:

$\|K^pf\|_C=\|K(K^{p-1}f)\|_C\leqslant M\mathrm{mes}\,G\|K^{p-1}f\|_C\leqslant\ldots\leqslant (M\mathrm{mes}\,G)^p\|f\|_C,\quad p=0,\;1,\;\ldots,$

где $\mathrm{mes}\,G$ — мера множества G, а $M=\max_G|K(x,\;y)|$.

Из этой оценки следует, что ряд

$\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),\quad x\in G,$

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

$\|f\|_C\sum_{k=0}^\infty|\lambda|^k(M\mathrm{mes}\,G)^k=\frac{\|f\|_C}{1-|\lambda|M\mathrm{mes}\,G},$

сходящимся в круге $|\lambda|<1/(M\mathrm{mes}\,G)$, поэтому при таких λ ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно. Это значит, что последовательные приближения u^(p)(x) при $p\to\infty$ равномерно стремятся к искомой функции u(x).

См. также

• Резольвента интегрального уравнения

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.