- Чистое состояние
-
Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Полностью указанное квантовое состояние (чистое состояние) может быть описано:
- В волновой механике — волновой функцией,
- В матричной механике — вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы.
Эти описания математически эквивалентны. Частично известное квантовое состояние (смешанное), типа статистического ансамбля с некоторыми фиксированными квантовыми числами принципиально не может быть описано волновой функцией и должно быть описано матрицей плотности, являющейся математическим объектом другого типа.
Содержание
Векторы состояний
Для описания возможных состояний заданной квантовой системы применяется математический аппарат гильбертова пространства , позволяющий практически полностью описать всё, что может происходить с системой. Подобная конструкция оказывается возможной благодаря экспериментально установленному принципу суперпозиции для квантовых систем. Он проявлется в том, что если существуют два возможных состояния квантовой системы, причём в первом состоянии некоторая наблюдаемая величина может принимать значения p1, p2, …, а во втором — q1, q2,… , то существует и состояние, называемое их суперпозицией, в котором эта величина может принимать любое из значений p1, p2, …, q1, q2,…. Количественное описание этого явления приведено ниже.
Обозначения бра-кет
Будем обозначать вектор состояния, соответствующий состоянию ψ, как . Сопряжённый вектор, соответствующий состоянию ψ, будем обозначать как . Скалярное произведение векторов и будем обозначать как , а образ вектора под действием оператора будем обозначать . Символ называется бра (англ. bra), а символ ψ, как — кет (англ. ket). Подобные обозначения в целом согласуются с обозначениями обычной линейной алгебры, но более удобны в квантовой механике, так как позволяют более наглядно и коротко называть используемые векторы. Такие обозначения были впервые введены Дираком. Названия векторов образованы разбиением слова bracket (скобка) на две звучные части — bra и ket.
Математический формализм
Всякий вектор из пространства , кроме нуля, соответствует некому состоянию. Однако, векторы, различающиеся лишь умножением на ненулевое комплексное число, отвечают одному физическому состоянию. Иногда полагают, что вектор состояния обязан быть «нормирован на единицу»: — любой ненулевой вектор приобретает это свойство, если разделить его на свою норму .
Если мы рассмотрим два различных состояния, то суперпозиции (всевозможные линейные комбинации) пары соответствующих им векторов дадут двумерное линейное комплексное пространство. Соответственное множество физических состояний будет представлять двумерную поверхность — сферу Римана.
При рассмотрении квантовой системы, состоящей из двух подсистем, пространство состояний строится в виде тензорного произведения. Подобные системы, помимо комбинаций состояний своих подсистем, имеют также и зацепленные (запутанные) состояния.
«Количество состояний»
Если система имеет хотя бы два физически различных состояния, то мощность множества возможных векторов состояния (даже с точностью до умножения на комплексное число), разумеется, бесконечна. Однако, под количеством состояний квантовой системы подразумевают количество линейно независимых состояний, то есть размерность пространства . Это вполне соответствует интуиции, поскольку описывает количество возможных исходов измерения; к тому же, при тензорном произведении (то есть, построении составной системы) размерность пространств перемножается.
В контексте рассмотрения замкнутой квантовой системы (то есть, решения уравнения Шрёдингера) под состояниями могут пониматься только стационарные состояния — собственные векторы гамильтониана, отвечающие различным уровням энергии. В случае конечномерного пространства и при отстутствии вырождения, число уровней энергии (и соответствующих им состояний) будет равно размерности пространства.
Литература
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5
Wikimedia Foundation. 2010.