Гладкая функция

Гладкая функция или непрерывно дифференцируемая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения.

Основные сведения

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости $r$ имеет непрерывную производную порядка $r$. Множество таких функций, определённых в области $\Omega$ обозначается $C^r(\Omega)$. $f\in C^\infty(\Omega)$ означает, что $f\in C^r(\Omega)$ для любого $r$, а $f\in C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)$ означает, что $f$ — аналитическая.

Например, $C^0(\Omega)$ - множество непрерывных на $\Omega$ функций, а $C^1(\Omega)$ - множество непрерывно-дифференцируемых на $\Omega$ функций, т.е. функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция $f$ принадлежит классу $C^{r,\;\alpha}$, где $r$ — целое неотрицательное число и $0<\alpha\leqslant 1$, если имеет производные до порядка $r$ включительно и $f^{(r)}$ является гёльдеровской с показателем $\alpha$.

В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».

Приближение непрерывно-дифференцируемых функций аналитическими

Пусть $\Omega$ открыто в $\R^n$ и $f\in C^k(\Omega)$, $0\leqslant k\leqslant\infty$. Пусть $\{K_p\}$ — последовательность компактных подмножеств $\Omega$ такая, что $K_0=\varnothing$, $K_p\subset K_{p+1}$ и $\bigcup K_p=\Omega$. Пусть $\{n_p\}$ — произвольная последовательность положительных целых чисел и $m_p=\min(k,\;n_p)$. Наконец, пусть $\{\varepsilon_p\}$ — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует $\R$-аналитическая функция $g$ в $\Omega$ такая, что для всякого $p\geqslant 0$:

$||f-g||^{K_{p+1}\backslash K_p}_{m_p}<\varepsilon_p.$

См. также

• Кусочно-гладкая функция

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.