- Булеан
-
Пусть — множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества (англ. power set), показательным множеством или множеством частей) и обозначается . Также оно обозначается , так как оно соответствует множеству отображений из в .
Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (т.е. инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC.
В категории множеств можно снабдить функцию структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом.
- Ковариантный функтор отображает функцию в функцию такую, что она отображает в образ относительно .
- Контравариантный функтор отображает функцию в такую, что она отображает в полный прообраз относительно .
Справедливо следующее утверждение:
Число подмножеств конечного множества, состоящего из элементов, равно .
Доказательство проведем методом математической индукции.База. Если , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно .
Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть — множество с кардинальным числом . Зафиксировав некоторый элемент , разделим подмножества множества на два типа:
- , содержащее ,
- , не содержащее , то есть являющиеся подмножествами множества .
Подмножеств типа (2) по предположению индукции . Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).
Следовательно имеем и . По индукционному предположению и . Получаем .
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Теория множеств
Wikimedia Foundation. 2010.