Верхний предел

Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать δ_n = 1 / n и, выбирая в каждой δ-окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).

Нижним пределом последовательности (обозначается $\varliminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}$ или $\liminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}$) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом ($\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}$ или $\limsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}$) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал (0,1). Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть s — верхняя грань множества A частичных пределов. Тогда заметим, что $\forall\varepsilon>0(s-\varepsilon\neq\sup(A))\Rightarrow(\exists a_1\in A:s-\varepsilon<a_1\leqslant s)$, а это означает, что в любой окрестности точки a₁ находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого $\varepsilon$, мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку a₁). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность {x_n} сходится к a тогда и только тогда, когда $\varliminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=a$, так как получается, что a — единственная предельная точка множества элементов последовательности.