Внутренний автоморфизм

Aвтоморфизм модели — изоморфизм, отображающий модель на себя.

Совокупность всех автоморфизмов некоторой модели с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу.

Группа автоморфизмов модели K обозначается $\operatorname{Aut}K$.

• Автоморфизм множества есть перестановка элементов этого множества
• Автоморфизм группы — изоморфизм группы на себя.

Автоморфизм называется внутренним, если существует такой элемент a, что Auth(G)_a(x) = axa ^{− 1}, а в противном случае внешним. Множество всех внутренних автоморфизмов группы G есть подгруппа группы всех автоморфизмов, причем Auth(G)_a * Auth(G)_b = Auth(G)_ab.^[1]

Множество автоморфизмов группы Ли также образует группу Ли. ^[2]

Автоморфизмы графов

Наименьшее асимметрическое дерево

Наименьший асимметрический граф

Автоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность. ^[3] Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу графа. Группа подстановок на множестве ребер называется реберной группой графа, которая тесно связана с вершинной:

Реберная и вершинная группы графа изоморфны тогда и только тогда, когда имеется не более одной изолированной вершины, и нет компонент связности состоящих из единственного ребра.^[4]

Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшее асимметрическое дерево имеет семь вершин, а наименьший асимметрический граф шесть вершин и столько же ребер.

Для любой конечной группы найдется такой граф, что его группа изоморфна данной. Результат получен Р. Фрухтом, в основе доказательства — преобразование цветного графа группы, обобщения графа Кэли. ^[5][6]

Примечания

1. ↑ Л.С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 21
2. ↑ Л.С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 121
3. ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 190
4. ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 192
5. ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 198—201
6. ↑ О. Оре Теория графов стр. 317

Литература

• Понтрягин, Лев Семёнович Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.
• Оре, Ойстин Теория графов. — М.: УРСС, — 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
• Ф. Харари Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.