- Группа (алгебра)
-
Гру́ппа — в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.
Всем знакомые вещественные числа наделены сложением — операцией, обладающей некоторым набором свойств. Похожими свойствами обладают и многие другие из объектов, которые изучает математика, — например, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Теория групп занимается изучением взаимосвязей между этими свойствами в общем виде. Структура группы включается в различные другие алгебраические структуры, такие как поля, векторные пространства или группы Ли. Кроме того, группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях.
Содержание
Определения
Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией называется группой (G, * ), если выполнены следующие аксиомы:
- ассоциативность: ;
- наличие нейтрального элемента: ;
- наличие обратного элемента:
Комментарии
- Заметим, что от группы не требуется свойства a * b = b * a (так называемой коммутативности).
- Пары элементов, для которых это равенство выполнено, называются перестановочными или коммутирующими.
- Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
- Группа, для которой это равенство выполнено для произвольных элементов , называется коммутативной, или абелевой.
- В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:
- Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (el * a = a) и левого обратного (a' * a = el) элементов. При этом они автоматически являются e и a - 1:
-
- ;
- a * a' = e * (a * a') = (a'' * a') * (a * a') = a'' * (e * a') = a'' * a' = e.
Связанные определения
см. основую статью Словарь терминов теории групп.
- Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
- Порядок группы (G, * ) — мощность G (т. е. число её элементов).
- Если множество G конечно, то группа называется конечной.
Примеры
- Целые числа с операцией сложения. группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.
- Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.
- Свободная группа с двумя образующими (F2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a,a − 1,b и b - 1 таких, что a не появляется рядом с a - 1 и b не появляется рядом с b - 1. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa − 1,a − 1a,bb − 1 и b − 1b.
- Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной некоммутативной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).
- Циклические группы состоят из степеней одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.
Стандартные обозначения
Мультипликативная запись
Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:
- результат операции называют произведением и записывают a * b или ab;
- нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
- обратный к a элемент записывается как a - 1.
Кратные произведения записывают в виде целых степеней , причём (a − 1)n = a − n,a0 = e.
Аддитивная запись
В коммутативной группе определяющяя операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:
- пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
- обозначают нейтральный элемент «0» и называем его нулём;
- обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
- запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a - b;
- выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, -2a, …
Простейшие свойства
- Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
- (a-1)-1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
- (ab)-1 = b-1a-1.
- Верны законы сокращения:
-
- ,
- .
- Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
- Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
- Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
- Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
Получение новых групп из уже известных
- В группе может существовать несколько подгрупп. Для определения их числа пользуются теоремой Лагранжа и теоремами Силова.
- Пусть дана группа G и её нормальная подгруппа H, тогда факторгруппа G/H есть множество смежных классов по H вместе с операцией умножения, которая корректно определяется по представителям: (gH)(hH)=(gh)H.
- Полупрямое произведение и, в частности,
- Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1•h2).
- Свободное произведение двух групп G и H есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих G и H, a система соотношений есть объединение систем соотношений G и H. Например, модулярная группа является свободным произведением и .
Обобщения
- Группоид — магма.
- Полугруппа
- Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
- Квазигруппа
См. также
Популярная литература
- Александров П. С. Введение в теорию групп, выпуск 7 серии «Библиотечка Квант».
- Садовский Л., Аршинов М., Группы, Квант, №10, 1976.
Научная литература
- Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
- Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
- Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
- Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
- Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
- Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.