- Действие группы на множестве
-
Говорят, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм из группы G в группу S(M) всех перестановок множества M. Для краткости (Φ(g))(m) часто записывают как gm или g.m.
Другими словами, группа G действует на множестве M, если задано отображение . обозначаемое (g,m) = gm, такое что
- (gh)m = g(hm) для всех , и
- em = m, где e есть единица G.
Содержание
Типы действий
- Свободное, если для любых различных и любого выполняется .
- Транзитивное если для любых существует такой, что gm = n. Другими словами, действие транзитивно, если Gm = M для любого элемента .
- Эффективное, если для любых существует такой, что .
В случае, когда группе и множестве задана дополнительно топология, то действие обычно предпологается непрерывным.
Орбиты
Подмножество
называется орбитой элемента .
Действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности
При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно k, то
где попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k = 1.
Стабилизаторы
Подмножество
является подгруппой группы G и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента .
Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если , то найдется такой элемент , что
- Gm = gGng − 1.
Количество элементов в орбите
- | Gm | = [G:Gm], Gm — стбилизатор элемента m и [G:Gm] — индекс подгруппы , в случае конечных групп равен .
Если , то
- — формула разложения на орбиты.
Эта формула также влечёт следующие тождества:
Примеры действий
Действия на себе
Слева
Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, M = G и гомоморфизм задан как (Φ(g))(h) = gh.
Справа
Аналогично определяется действие на себе справа, (Φ(g))(h) = hg − 1.
Слева и справа
Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения на M = G с гомоморфизмом заданым как .
Сопряжениями
Пусть M = G и гомоморфизм задан как (Φ(g))(h) = ghg − 1. При этом для каждого элемента стабилизатор Gh совпадает с централизатором C(h):
Например, для элемента h из центра группы G (то есть ) имеем C(m) = G и Gh = G.
Литература
- Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607.
- Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.
Wikimedia Foundation. 2010.