- Закон взаимности Гаусса
-
Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.
Простейшим проявлением закона взаимности является следующий факт, известный ещё Ферма: Простыми делителями чисел x2 + 1 могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии 4k + 1. Другими словами, сравнение
по простому модулю p > 2 разрешимо в том и только в том случае, когда С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:
В общем случае, вопрос о разрешимости сравнения
решается с помощью закона взаимности Гаусса:
где р и q — различные нечётные простые числа, а также двух дополнений к этому закону
- и
История
Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру и Лежандру, однако первое доказательство было получено только Гауссом, который впоследствии дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.