Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламе в дифференциальной геометрии — коэффициенты в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий, названые в честь французского математика Габриеля Ламе

Общее определение

Пусть x, y, z — декартовы координаты. Пусть q₁, q₂, q₃ — произвольные ортогональные криволинейные координаты. Пусть также справедливы соотношения:

$\left\{\begin{matrix} x = \varphi_1\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right);\\ y= \varphi_2\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right); \\ z = \varphi_3\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right),\end{matrix}\right.$

где $\varphi_1,\; \varphi_2,\; \varphi_3$ — некоторые функции.

Дифференциал дуги в декартовых координатах имеет вид:

$dS^2 = \mathbf{dx}^2 + \mathbf{dy}^2 + \mathbf{dz}^2.$

Тогда можно записать дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

$dS^2 = \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 , ~ i=1,2,3$

Принимая во внимание ортогональность систем координат ($\mathbf{dq}_i \cdot \mathbf{dq}_j = 0$ при $i \ne j$) это выражение можно переписать в виде

$dS^2 = H_1^2dq_1^2 + H_2^2dq_2^2 + H_3^2dq_3^2,$

где

$H_i = \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\right)^2};\ i=1,\;2,\;3$

— искомые коэффициенты Ламе.

Частные случаи

Полярные координаты

Связь полярных координат с декартовыми:

$\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}.\end{matrix}\right.$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r. \end{matrix}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2.$

Цилиндрические координаты

Связь цилиндрических координат с декартовыми:

$\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}. \\ z = z. \end{matrix}\right.$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r; \\ H_z = 1. \end{matrix}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2 + dz^2.$

Сферические координаты

Связь сферических координат с декартовыми:

$\left\{\begin{matrix} x = r\sin{\theta}\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\theta}\sin{\varphi}; \\ z = r\cos{\theta}. \end{matrix}\right.$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\theta = r; \\ H_\varphi = r\sin{\theta}. \end{matrix}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta}d\varphi^2.$