- Переменные состояния
-
Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение его состояний.
Содержание
Определение
В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с
Линейные непрерывные системы
Для случая линейной системы с входами, выходами и n переменными состояния описание имеет вид:
где
- ; ; ;
- , , , , .
- — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы
- — вектор выхода,
- — вектор управления,
- — матрица системы,
- — матрица управления,
- — матрица выхода и
- — матрица прямой связи.
Часто матрица является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.
Дискретные системы
Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.
Нелинейные системы
Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:
или в более компактной форме:
Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.
Линеаризация
В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки .
В установившемся режиме для рабочей точки справедливо следующее выражение:
Вводя обозначения:
Разложение уравнения состояния в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:
При взятии частных производных вектор-функции по вектору переменных состояний и вектору входных воздействий получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:
Аналогично для функции выхода:
Учитывая , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:
где
Примеры
Модель в пространстве состояний для маятника
Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:
где
- — угол отклонения маятника.
- — приведённая масса мaятника
- — ускорение свободного падения
- — коэффициент трения в подшипнике подвеса
- — длина подвеса маятника
В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:
где
- — угол отклонения маятника
- — угловая скорость маятника
- — угловое ускорение маятника
Запись уравнений состояния в общем виде:
Линеаризация модели маятника
Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окресности точки равновесия имеет вид:
При отсутствии трения в подвесе ) получим уравнение движения математического маятника:
См. также
- Теория управления
- Фазовое пространство
- Критерий устойчивости в пространстве состояний
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.