- Аксиоматика вещественных чисел
-
Аксиоматика вещественных чисел
Аксиома́тика веще́ственных чи́сел — система аксиом, один из способов определения вещественных (действительных) чисел.
Далее символ обозначает логическое «и».
Содержание
Аксиомы сложения
На множестве вещественных чисел, обозначаемом через (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y.
- (коммутативность сложения);
- (ассоциативность сложения);
- (существование нейтрального элемента по сложению — нуля);
- (существование противоположного элемента).
Аксиомы умножения
На введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент (или, сокращённо, xy) из этого же множества, называемый произведением x и y.
- (коммутативность умножения);
- (ассоциативность умножения);
- (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);
- (существование обратного элемента).
Связь сложения и умножения
- (дистрибутивность относительно сложения).
Аксиомы порядка
На задано отношение порядка «» (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из выполняется хотя бы одно из условий или .
- (рефлексивность порядка);
- (транзитивность порядка);
- (антисимметричность порядка).
Связь отношения порядка и сложения
.
Связь отношения порядка и умножения
.
Аксиома непрерывности
.
Комментарий
Эта аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число. Для рациональных чисел эта аксиома не выполняется; классический пример: рассмотрим положительные рациональные числа и отнесём к множеству X те числа, квадрат которых меньше 2, а прочие — к Y. Тогда между X и Y нельзя вставить рациональное число ( не является рациональным числом).
Эта ключевая аксиома обеспечивает плотность и тем самым делает возможным построение математического анализа. Для иллюстрации её важности укажем на два фундаментальных следствия из неё.
- Каждая неубывающая ограниченная сверху последовательность в имеет предел.
- Если непрерывное отображение f(x) на концах интервала имеет значения разного знака, то уравнение f(x) = 0 внутри интервала имеет вещественное решение.
Следствия аксиом
Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например,
- единственность нуля,
- единственность противоположного и обратного элементов.
Литература
- Зорич В. А. Математический анализ. Том I. М.: Фазис, 1997, глава 2.
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.