Параллелизуемое многообразие

Параллелизуемое многообразие — многообразие $M$ размерности $n$, допускающее поле реперов $e=(e_1,e_2,...,e_n)$, то есть $n$ линейно независимых в каждой точке векторных полей $e_i$.

Поле $e$ задает изоморфизм касательного расслоения $TM\to M$ на тривиальное расслоение $\R^n\times M\to M$, сопоставляющий касательному вектору $v\in TM$ его координаты относительно репера $e$ и его начало. Поэтому параллелизуемое многообразие можно также определить как многообразие, имеющее тривиальное касательное расслоение.

Примеры

• открытые подмногообразия евклидова пространства,
• все трёхмерные ориентируемые многообразия,
• произвольные группы Ли,
• многообразие реперов произвольного многообразия.
• Сферы $S^n$ являются параллелизуемыми только при $n=1, 3, 7$.

Свойства

• Для параллелизуемости 4-мерного многообразия необходимо и достаточно обращение в нуль его второго характеристического класса Штифеля — Уитни.
• В общем случае равенство нулю всех характеристических классов Штифеля — Уитни, Чжэня и Понтрягина является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы многообразие $M$ было параллелизуемо.