Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно $n$-мерное евклидово пространство обозначается $\mathbb E^n$, хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение $\mathbb R^n$.

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство $\mathbb R^n$ с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

$\|x\|=\sqrt{\langle x, x \rangle}$,

в простейшем случае (евклидова норма):

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$

где $x=(x_1,x_2,\dots, x_n)$ (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть $\mathbb R^n$ с метрикой, введённой по формуле:

$\rho(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2}$,

где $x=(x_1,x_2,\dots, x_n)$ и $y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n$.

Связанные определения

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• $\mathbb E^1$ размерности $1$ (вещественная прямая)
• $\mathbb E^2$ размерности $2$ (евклидова плоскость)
• $\mathbb E^3$ размерности $3$ (евклидово трехмерное пространство)
• Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Более абстрактный пример:

• пространство вещественных многочленов $p(x)$ степени, не превосходящей $n$, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например $e^{-x^2}$)

Вариации и обобщения

• Гильбертово пространство
• Псевдоевклидово пространство

См. также

• Евклидова геометрия

Ссылки