Скалярное произведение

Скаля́рное произведе́ние (в зарубежной литературе - scalar product, dot product, inner product ) — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

$\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle$,

$(\mathbf a, \mathbf b)$,

$\mathbf a \cdot \mathbf b$,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

$\langle a|b\rangle$.

Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть

$\langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0$ для всех $a\not=0$.

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.

Определение

Скалярным произведением в векторном пространстве $\mathbb L$ над полем $\mathbb C$ комплексных (или $\mathbb R$ вещественных) чисел называется функция $\langle x, y \rangle$ для элементов $x, y \in \mathbb L$, принимающая значения в $\mathbb C$ (или $\mathbb R$), определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов $~x_1, x_2$ и $~y$ пространства $\mathbb L$ и любых чисел $~\alpha , \beta$ из $\mathbb C$ (или $\mathbb R$) справедливо равенство $\langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle$ (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
2. для любых $~x$ и $~y$ справедливо равенство $\langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}$, где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
3. для любого $~x$ имеем $\langle x,x \rangle \ge 0$, причем $\langle x,x \rangle =0$ только при $~x=0$ (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что $\langle x,x \rangle \in \mathbb R$. Поэтому п.3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Элементарное определение

A • B = |A| |B| cos(θ)

Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

$\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)}$

Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже).

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

• Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма: $\| \mathbf x\| = \sqrt{\langle \mathbf x,\mathbf x\rangle}$ (термин 'длина' обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).
• Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
      $\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = |\mathbf a| |\mathbf b| \cos \varphi.$
  В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
      $|\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle| = |\mathbf a| |\mathbf b| \operatorname{ch} \varphi.$

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.

• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
  • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Примеры

• В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов $\mathbf x = (x_1, x_2, x_3)$ введение скалярного произведения по формуле $\langle\mathbf x, \mathbf y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).
  • В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать^[1] ортонормированный базис ${\mathbf e_1, \mathbf e_2,\dots,\mathbf e_n}$
    

при разложении векторов по которому:

$\mathbf a = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + \dots + a_n \mathbf e_n$,

$\mathbf b = b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + \dots + b_n \mathbf e_n$ итд,

скалярное произведение будет выражаться приведённой следующей формулой:

$\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle=\mathbf a^T \mathbf b = a_1 b_1+a_2 b_2+\dots+a_n b_n$.

• В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле: $\langle\vec x, \vec y\rangle = x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+x_3\overline{y_3}$. Здесь через $\overline{a}$ обозначено число, комплексно сопряжённое к $\ a$. При таком определении скалярное произведение становится положительно определённым. Без комплексного сопряжения аксиома эрмитовости скалярного произведения была бы нарушена, а значит, вещественности определённой через него нормы вектора добиться бы не удалось, то есть норма в обычном смысле им бы не порождалась.

• В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

$\langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega f(x) g(x) d\Omega$

• В аналогичном случае для комплексных функций, если требуется эрмитовость (и положительная определённость) скалярного произведения, надо добавить комплексное сопряжение к f или g под интегралом.

• При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора $g_{ij}$:

$\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = \sum g_{ij}a^i b^j$

при этом сама метрика (говоря точнее, ее представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов $f_i\$:

$g_{ij} = \langle\mathbf f_i, \mathbf f_j\rangle$

• • (метрика в ортонормированных базисах тривиальна, то есть представлена единичной матрицей $g_{ij} = \delta_{ij}$)

• Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

$\langle f, g \rangle = \int\limits_{(\Omega_1 \times \Omega_2)} K(x_1,x_2) f(x_1) g(x_2) d(\Omega_1 \times \Omega_2)$

$\langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega K(x) f(x) g(x) d\Omega$

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Свойства

• теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

  $|BC|^2 = \vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = \langle\vec{AC} - \vec{AB},\vec{AC} - \vec{AB}\rangle = \vec{AC}^2 + \vec{AB}^2 - 2 \langle\vec{AC},\vec{AB}\rangle = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \cos\hat A$

• Угол между векторами:

  $\alpha = \arccos \frac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle\langle\mathbf b,\mathbf b\rangle}}$

• Оценка угла между векторами:

  в формуле $\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)}$ знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

• Проекция вектора $\mathbf a$ на направление, определяемое единичным вектором $\mathbf e$:

  $a_e = \langle\mathbf a,\mathbf e\rangle$,

• условие ортогональности^[2] (перпендикулярности) векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$:

$\mathbf a\bot \mathbf b \Leftrightarrow \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle = 0$

• Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора $\mathbf{a}\$ и $\mathbf{b}\$, равна

$\sqrt{\langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{b},\mathbf{b}\rangle - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle^2}\$

Неравенство Коши — Буняковского

Для любых элементов $\mathbf x$ и $\mathbf y$ линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство [1]

$\vert \langle x,y \rangle \vert ^2 \le \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle$

История

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году^[3] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю^[4].

Вариации и обобщения

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае (Для бесконечномерных пространств функций — см. примеры (выше)).

См. также

• Псевдоскалярное произведение
• Внешнее произведение
• Векторное произведение
• Смешанное произведение
• Гильбертово пространство
• Метрический тензор

Примечания

1. ↑ Ортонормированность базиса определяется условием

   $\langle \mathbf e_i, \mathbf e_j \rangle= \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j, \end{cases}$

   заключающемся в равенстве нулю скалярных произведений разных базисных векторов, например, первого и второго, первого и третьего, итд (ортогональность), и равенстве единице — скалярного произведения каждого базисного вектора с самим собой (нормированность). Упоминаемые в основном тексте формулы получаются прямым перемножением векторов, разложенных по такому базису, учитывая свойства скалярного произведения, особенно его билинейность, позволяющую раскрывать скобки итп как при вычислениях с обычными числами.
2. ↑ В абстрактной формулировке названное условие $\vec a\bot \vec b$ — это всего лишь определение ортогональности. Аналогично, две формулы выше в абстрактной формулировке также являются просто определениями соответствующих понятий через скалярное произведение, но они все могут с успехом быть использованы в конкретных вычислениях, например, в элементарной геометрии, независимо от того, какая система определений используется, современная абстрактная или традиционная элементарная.
3. ↑ Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
4. ↑ Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Скалярное произведение