Ортонормированный базис

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи дельта-символа Кронекера:

$( e_i,e_j ) = \delta_{ij}\$

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ($i\ne j$), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортонормированном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нем можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Разложение вектора по ортонормированному базису:

$\ \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + ... + a_n \mathbf{e_n}$

можно найти так:

$\ a_i = (\mathbf{a},\mathbf{e_i})$

то есть каждый коэффициент разложения (координата) любого вектора в ортонормированном базисе равна просто скалярному произведению этого вектора на соответствующий базисный вектор.

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора $\mathbf{a}$

$(\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2,$

то есть квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису.

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e₁,e₂,...,e_n,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент $x\in X$ однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

$x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n ,$

называемого рядом Фурье элемента x по системе {e_n}.

Обычно базис {e_n} выбирается так, что | e_n | = 1, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа a_n, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонормированному базису {e_n}, имеют вид

a_n = (x,e_n).

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система {e_n} была базисом, является равенство Парсеваля

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел {a_n} такая, что $\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty$, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом {e_n} ряд $\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$ — сходится по норме к некоторому элементу $x\in X$. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l₂ (теорема Рисса — Фишера).

См. также

• Ортонормированная система
• Базис
• Ортогонализация
• Процесс Грама ― Шмидта