Проективная плоскость

Проективная пло́скость — двумерное проективное пространство. Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет т. н. аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.

Проективная плоскость над телом $K$ это множество прямых (одномерных подпространств) трёхмерного линейного пространства $K^3$. Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективная плоскость над телом $K$ обычно обозначается $K\mathrm{P}^2$, например $\R \mathrm{P}^2$, $\mathbb{C} \mathrm{P}^2$, $\mathbb{H} \mathrm{P}^2$ и т. д..

Классическая проективная плоскость

Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.

• П1. Через две различные точки P и Q плоскости П проходит прямая, причём только одна.
• П2. Любые две прямые имеют общую точку.
• П3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
• П4. Каждая прямая содержит не менее трёх точек

Дополнительными аксиомами являются следующие:

• П5. Аксиома Дезарга.
  

  Аксиома Дезарга
  Если треугольники ABC и A’B’C' таковы, что прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в точке O, то точки пересечения пар соответствующих сторон AB и A’B' (P), BC и B’C' (R), AC и A’C'(Q) лежат на одной прямой.
• П6. Аксиома Паппа.
  

  Аксиома Паппа
  Если l и l' две различные прямые, A,B,С — три различные точки на прямой l, а A',B',C'  — три различные точки l', причём все эти точки отличны от О — точки пересечения прямых l и l' , то точки пересечения пар соответствующих сторон AB' и A’B (P), BC' и B’C (R), AC' и A’C (Q) лежат на одной прямой.
• П7. Аксиома Фано.
  

  Аксиома Фано
  Пусть A, B, C, D — точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведём все шесть прямых, соединяющих эти точки (AB, AC, AD, BC, BD, CD). Обозначим точку пересечения AB и CD через P, AC и BD через Q и AD и BC через R (диагональные точки). Эти диагональные точки не лежат на одной прямой.

Для любой проективной плоскости над телом выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости П выполняется аксиома Дезарга П5, то она есть проективная плоскость над некоторым телом $K$.

Если выполняются аксиома Паппа П6 и аксиомы П1-П4, то выполняется и аксиома Дезарга П5. В этом случае П является проективной плоскостью над полем (то есть тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.

Если выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5, то аксиома Фано П6 выполняется тогда и только тогда, когда П является проективной плоскостью над телом $K$ характеристики ≠2.

Топология вещественной проективной плоскости

Проективная плоскость как квадрат со склеенными сторонами

Проективная плоскость как круг с приклеенным листом Мёбиуса

Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в R³ . Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат. Построим единичную сферу. Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x. Из этого легко получается другая модель. Отбросим верхнюю полусферу z > 0. Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются. «Выпрямляя» полусферу получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности. Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок). Как показано на следующем рисунке этот квадрат гомеоморфен кругу D² с приклеенным листом Мёбиуса μ. Поэтому проективная плоскость неориентируема.

Триангуляция проективной плоскости

Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: H₀(P²) =Z , H₁(P²)=Z₂ и H₂(P²)=0 , числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b₀=1, b₀=0, b₂=0 и эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P²)=b₀-b₁+b₂=1 Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P²) (см. рис. слева) — число вершин равно 6, ребер 15 и граней 10, значит χ(P²)=6-15+10=1.

Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.

Фундаментальная группа π₁(P²)= Z₂, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы π_n(P²)=π_n(S²) для n≥2.

Литература

• Артин Э. Геометрическая алгебра. -М.:Наука, 1969
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. -М:Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. -М:Наука, 1984
• Кокстер Г. С. М. Действительная проективная плоскость. -М:Физматгиз, 1959
• Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. -М:Наука, 1966
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. -М:МГУ, 1998
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. -М.:Мир, 1970

См. также

Лист Мёбиуса