Плюккеровы координаты

Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства $M$ (произвольной размерности) векторного или проективного пространства $L$. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю $\dim M=2$ и $\dim L=4$ для векторных пространств.

Определение в координатах

Пусть $M$ — $m$-мерное подпространство $n$-мерного векторного пространства $L$. Для определения плюккеровых координат подпространства $M$ выберем произвольный базис $e_1,\;\ldots,\;e_n$ в $L$ и произвольный базис $a_1,\;\ldots,\;a_m$ в $M$. Каждый вектор $a_i$ имеет в базисе $e_1,\;\ldots,\;e_n$ координаты $(a_{i1},\;\ldots,\;a_{in})$, то есть $a_i=a_{i1}e_1+\ldots+a_{in}e_n$. Записывая координаты векторов $a_1,\;\ldots,\;a_m$ в виде строк, получим матрицу

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix},$

ранг которой равен $m$. Обозначим через $M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$ минор матрицы $A$, состоящий из столбцов с номерами $i_1,\;\ldots,\;i_m$, принимающими значения от $1$ до $n$. Числа $M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$ не независимы: если набор индексов $(i_1,\;\ldots,\;i_m)$ получен из $(j_1,\;\ldots,\;j_m)$ с помощью перестановки $\sigma\in S_m$, то имеет место равенство $M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=\pm M_{j_1,\;\ldots,\;j_m}$, где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка $\sigma$ чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность $C_n^m$ чисел $p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$ для всех упорядоченных наборов индексов $i_1<\ldots<i_m$, принимающих значения от $1$ до $n$, называется плюккеровыми координатами подпространства $M$.

Свойства

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве $M$ выбран другой базис $a'_1,\;\ldots,\;a'_m$, то новый набор плюккеровых координат $p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$ будет иметь вид $p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$, где $c$ — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями $a'_i=a'_{i1}a_1+\cdots+a'_{im}a_m$, и определитель матрицы $(a'_{ij})$ отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем $p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$, где $c=\det(a'_{ij})$.

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому $m$-мерному подпространству $M$ набор его плюккеровых координат $p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$, мы сопоставляем $M$ некоторую точку проективного пространства $P$ размерности $C_n^m-1$. Построенное таким образом отображение $g$ инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством $P$). Образ множества всех $m$-мерных подпространств $n$-мерного пространства при отображении $g$ является $m(n-m)$-мерным проективным алгебраическим многообразием в $P$, называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым $G(m,\;n)$ или $\mathrm{Gr}_m(L)$.

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства $P$ грассманиану $G(m,\;n)$, являются так называемые соотношения Плюккера:

$\sum_{r=1}^{m+1}(-1)^r p_{j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}k_r}\cdot p_{k_1,\;\ldots,\;\breve{k_r},\;\ldots,\;k_{m+1}}=0,\quad\forall\,(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}),\quad\forall\,(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}),$

где все индексы в наборах $(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1})$ и $(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1})$ принимают значения от $1$ до $n$, знак $\breve{}$ обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности $(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1})$ выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору $(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1})$, потом два получившихся числа $p_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m}=M_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m}$ перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы $A$, но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого $m$-мерного подпространства $M\subset L$. И обратно, если однородные координаты $p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$, $i_1<\ldots<i_m$, некоторой точки проективного пространства $P$ удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении $g$ соответствует некоторому подпространству $M\subset L$, то есть принадлежит $G(m,\;n)$.

На языке матриц это означает: если числа $p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}$ удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по ее минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

Пример

В случае $\,n=4$ и $\,m=2$ имеем $\,C_4^2=6$, и следовательно, каждая плоскость $\,M$ в 4-мерном векторном пространстве имеет $6$ плюккеровых координат: $\,p_{12}$, $\,p_{13}$, $\,p_{14}$, $\,p_{23}$, $\,p_{24}$, $\,p_{34}$. Выбирая в плоскости $\,M$ базис $\,a_1,\;a_2$ таким образом, что $\,a_1=e_1$ и $\,a_2=e_2$, получаем матрицу

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 1 & \gamma & \delta \\ \end{pmatrix},$

откуда находим:

$\,p_{12}=1$, $\,p_{13}=\gamma$, $\,p_{14}=\delta$, $\,p_{23}=-\alpha$, $\,p_{24}=-\beta$, $\,p_{34}=\alpha\delta-\beta\gamma$.

Очевидно, что имеет место соотношение

$\,p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0$,

сохраняющееся при умножении всех $\,p_{i_1i_2}$ на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику $G(2,\;4)$ в 5-мерном проективном пространстве.

Литература

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь Плюккеровы координаты названы Грассмановыми).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.