- Сходимость по распределению
-
Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.
Содержание
Определение
Пусть дано вероятностное пространство и определённые на нём случайные величины . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на , называемую её распределением.
Случайные величины сходятся по распределению к случайной величине , если распределения слабо сходятся к распределению , то есть
для любой непрерывной ограниченной[1][2] функции .
Замечания
- Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
- .
- Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.
Свойства сходимости по распределению
- Случайные величины сходятся по распределению к , если их функции распределения сходятся к функции распределения предела во всех точках непрерывности последней:
- .
- Если все случайные величины в определении дискретны, то тогда и только тогда, когда имеется сходимость функций вероятности:
- .
- Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:
то . Обратное, вообще говоря, неверно!
- Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в ) влечёт сходимость по распределению:
- .
Обратное, вообще говоря, неверно.
См. также
Примечания
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категория:- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.