Асимптотически нормальная оценка

Асимптоти́чески норма́льная оце́нка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному при увеличении размера выборки.

Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ — выборка из распределения $\mathbb{P}_{\theta}$, зависящего от параметра $\theta \in \Theta$. Точечная оценка $\hat{\theta}$ называется асимптотически нормальной с дисперсией $\sigma\ ^2(\theta)$, если

$\sqrt{n} \left(\hat{\theta} - \theta \right) \to Z$ по распределению при $n \to \infty$,

где $Z \sim \mathrm{N}\left(0,\sigma^2(\theta)\right)$ - нормальная случайная величина.

Замечание

Эквивалентно, оценка $\hat{\theta}$ асимптотически нормальна, если

$\frac{\sqrt{n} \left(\hat{\theta} - \theta\right)}{\sigma(\theta)} \to \tilde{Z}$ по распределению при $n \to \infty$,

где $\tilde{Z} \sim \mathrm{N}(0,1)$.

Свойства

• Асимптотически нормальная оценка $\hat{\theta}$ состоятельна.
• При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.

Примеры

• Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots \sim \mathrm{U}[0,\theta]$ - выборка из непрерывного равномерного распределения, где $\theta > 0$. Пусть

$\hat{\theta}_1 = 2 \bar{X}$,

где $\bar{X}$ - выборочное среднее, а

$\hat{\theta}_2 = X_{(n)}$,

где $X_{(n)} = \max(X_1,\ldots,X_n)$. Тогда оценка $\hat{\theta}_1$ является асимптотически нормальной с дисперсией $\sigma^2(\theta) = \theta^2/3$, а оценка $\hat{\theta}_2$ не является асимптотически нормальной.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.