Формула Муавра

Формула Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \ утверждает, что

z^n =r^n( \cos n\varphi + i \sin n\varphi )\

для любого n \in \mathbb{Z}.

Содержание

Доказательство

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \ и тождества для экспонент (e^{a})^{b} = e^{ab} \! , где b — целое число.[1]

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} = r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),

где k = 0, 1, …, n—1.

Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса \sqrt[n]{r} с центром в нуле.

История

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также

Примечания

  1. ↑ Если b — нецелое число, то (e^{a})^{b} \!  — многозначная функция переменной a и e^{ab} \! является лишь одним из её значений.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Формула Муавра" в других словарях:

  • Формула муавра — для комплексных чисел , заданная в тригонометрической форме  формула для любого Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и правила для экспонент , верного, если …   Википедия

  • Муавра формула — Формула Муавра для комплексных чисел , заданная в тригонометрической форме  формула для любого Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и правила для экспонент , верного, если …   Википедия

  • Формула Стирлинга — Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n. В математике формула Стирлинга …   Википедия

  • Формула Эйлера — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Формулы. Геометрический смысл формулы Эйлера Формула Эйлера на …   Википедия

  • МУАВРА ФОРМУЛА — формула для нахождения n й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрической форме согласно формуле Муавра,Найдена А. Муавром (1707) …   Большой Энциклопедический словарь

  • Формула включений-исключений — (или принцип включений исключений) комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом …   Википедия

  • Муавра формула —         формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме          z = ρ (cos φ + i sin φ);         согласно М. ф., модуль ρ комплексного числа возводится в эту степень, а… …   Большая советская энциклопедия

  • МУАВРА ФОРМУЛА — формула, выражающая правило для возведения в степень п комплексного числа, представленного в тригонометрич. форме Согласно М. ф. модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени М. ф. была найдена А …   Математическая энциклопедия

  • Муавра формула — формула для нахождения n й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрической форме z = r(cosφ + isinφ); согласно формуле Муавра, zn = rn(cosnφ + isinnφ). Найдена А. Муавром (1707). * * * МУАВРА ФОРМУЛА МУАВРА ФОРМУЛА, формула для …   Энциклопедический словарь

  • МУАВРА ФОРМУЛА — ф ла для нахождения п й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрич. форме z = r(cos ф + i sin ф) ; согласно М. ф., Найдена А. Муавром (1707) …   Естествознание. Энциклопедический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»