Формула Эйлера

У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Формулы.

Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$ выполнено следующее равенство:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

где $e$ — основание натурального логарифма,

$i$ — мнимая единица.

История

Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:

$~\ln(\cos x+i\sin x)=i x$.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя (см. Г. Вессель).

Производные формулы

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $\sin$ и $\cos$ следующим образом:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$,

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть $x=iy$, тогда:

$\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y$,

$\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y$.

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

$e^{i\pi}+1=0$

является частным случаем формулы Эйлера при $x=\pi$.

Применение в комплексном анализе

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: $x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}$.

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: $x=|x|e^{i\varphi}$, $x^n=|x|^ne^{ni\varphi}$. Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа $x$ в степень $n$ его расстояние до центра возводится в степень $n$, а угол поворота относительно оси $OX$ увеличивается в $n$ раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых $n$, но и для вещественных. В частности, комплексная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при доказательстве основной теоремы алгебры: «Многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ комплексных корней».

Взаимосвязь с тригонометрией

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

$\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.$

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера :

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \;$

$e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;$

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

$\cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)$

$\sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y).$

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения, результат выражения остается вещественным. Например:

$\begin{align} \cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\ & = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\ & = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right]. \end{align}$

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:

$\begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\ & = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]. \end{align}$

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

Доказательство

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием рядов Тейлора. Разложим функцию $e^{ix}$ в ряд Тейлора по степеням $x$. Получим:

$e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)$

Но

$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x$

$\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x$

Поэтому $~e^{ix}=\cos x + i\sin x$

ч. т. д.

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число $z$ в тригонометрической форме имеет вид $z = r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

$z = re^{i\varphi}$

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь $r = |z|$,$\varphi = arg z$.

См. также

• Формула Муавра
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Литература

• Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 530 с.