- Линейные операторы
-
Лине́йным отображе́нием (лине́йным опера́тором) векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (над тем же полем K) называется отображение
- ,
удовлетворяющее условию линейности
- f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).
для всех и .
Содержание
Важные частные случаи
- Линейный функционал — линейный оператор, для которого M = K:
- Эндоморфизм — линейный оператор, для которого L = M:
- Тождественный оператор — оператор , отображающий каждый элемент пространства в себя.
- Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент LK в нулевой элемент MK.
- Сопряжённый оператор к оператору — оператор A * на V * , заданный соотношением (A * f,x): = (f,Ax).
- Эрмитов (самосопряжённый) оператор — оператор, совпадающий со своим сопряженным оператором. В случае евклидова пространства такой оператор называют еще симметричным.
Связанные понятия
- Ядром линейного отображения называются подмножество A, которое отображается в нуль:
- Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве A.
- Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B:
- Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве B.
- Отображение прямого произведения линейных пространств A и B в линейное пространство C называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.
- Оператор называется линейным неоднородным, если он имеет вид
- где L — линейный оператор, а v — вектор.
Примеры
Примеры линейных однородных операторов:
-
- оператор дифференцирования: ;
- оператор интегрирования: ;
- оператор умножения на определённую функцию ;
- оператор интегрирования с заданным «весом»
- оператор взятия значения функции f в конкретной точке x0: L{f} = f(x0);
- оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax.
Примеры линейных неоднородных операторов:
-
- Любое аффинное преобразование;
- ;
- ;
- ;
где , , — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.
См. также
- Вполне непрерывный оператор
- Интегральный оператор Фредгольма
- Разностный оператор
- Сопряжённый оператор
- Спектр оператора
- Оператор (математика)
- Выпуклый функционал
- Изометрический оператор
Wikimedia Foundation. 2010.