- Сопряжённый оператор
-
Содержание
Общее линейное пространство
Пусть — линейные пространства, а — сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов, определенных на ). Тогда для любого линейного оператора и любого линейного функционала определён линейный функционал — суперпозиция и : . Отображение называется сопряженным линейным оператором и обозначается .
Если кратко, то , где — действие функционала на вектор .
Топологическое линейное пространство
Пусть — топологические линейные пространства, а — сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определенных на ). Для любого непрерывного линейного оператора и любого непрерывного линейного функционала определён непрерывный линейный функционал — суперпозиция и : . Нетрудно проверить, что отображение линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также .
Банахово пространство
Пусть — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство [1] и пусть — сопряжённые пространства. Обозначим . Если — фиксировано, то — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что .
называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.
Для справедливы следующие свойства:
- Оператор — линейный.
- Если — линейный непрерывный оператор, то также линейный непрерывный оператор.
- Пусть — нулевой оператор, а — единичный оператор. Тогда .
- .
- .
- .
- .
Гильбертово пространство
В гильбертовом пространстве теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора равенство определяет сопряженный оператор . Здесь — скалярное произведение в пространстве .
См. также
Примечания
- ↑ Пространства предполагаются комплексными
Литература
- Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
- Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
Категории:- Линейная алгебра
- Функциональный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.