- Линейный непрерывный оператор
-
Линейный непрерывный оператор, действующий из в () - это линейное отображение из в , обладающее свойством непрерывности.Термин линейный непрерывный оператор обычно употребляют в случае, когда . Если или , то принято использовать термин линейный непрерывный функционал[1].
Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.
Содержание
Математическое определение
Пусть - линейный оператор, действующий из векторного пространства в векторное пространство . Тогда оператор является непрерывным если, для любой последовательности точек , из следует .
Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств и . Например, если - конечномерное пространство, то оператор будет вполне непрерывным оператором, область его значений будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы[2].
Свойства
- Всякий линейный непрерывный оператор ограничен. Обратное верно не всегда в общем случае. Однако, если оператор действует в нормированных пространствах, то верно и обратное - всякий линейный ограниченный оператор непрерывен.
- Если линейный оператор непрерывен хотя бы в одной точке , то он непрерывен в каждой точке .
- Пусть ряд сходится и — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство
- .
Это означает, что к сходящимся рядам в линейных пространствах линейный оператор можно применять почленно.
- Множество всех линейных непрерывных операторов из в () есть нормированное пространство. Нормой в этом пространстве будет норма оператора.
- Если — банаховы пространства, то оператор A переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:
- если слабо, то слабо.
Связанные определения
- Линейный оператор называется ограниченным снизу, если .
См. также
Литература
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
Примечания
- ↑ Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
- ↑ Также, в конечномерном пространстве с базисом , линейный непрерывный оператор можно представить в виде , где - функции из сопряжённого пространства.
Категория:- Функциональный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.