Многочлен

Многочлен

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n},

где I=(i_1,i_2,\dots,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), c_I — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

Иначе говоря, многочленом называют сумму одночленов.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c_0 + c_1x^1 + \dots + c_nx^n.

где c_i фиксированные коэффициенты, а x — переменная.

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.

Содержание

Изучение и применение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения

  • Многочлен вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} называется одночленом или мономом мультииндекса I=(i_1,\dots,\,i_n).
    • Одночлен, соответствующий мультииндексу I=(0,\dots,\,0) называется свободным членом.
    • Полной степенью (ненулевого) одночлена c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} называется целое число |I|=i_1+i_2+\dots+i_n.
    • Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты c_I ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочкамногогранником Ньютона.
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени.
  • В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
  • В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
  • Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается :R[x_1,x_2,\dots,x_n].

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:A\to A.

Чаще всего рассматривают случай A=R.

В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f_p:R^n\to R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)\equiv x и p_2(x)\equiv x^2 из \Z_2[x] определяют тождественно равные функции \Z_2\to\Z_2.

Виды многочленов

  • Многочлен одной переменной называется унитарным или однородным.
    • Например x^2+xy+y^2 — однородный многочлен двух переменных, а x^2+y+1 не является однородным.
  • Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства

Делимость

Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен \lambda, то p или q делится на \lambda. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x^4-2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n>2 существуют многочлены от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения

  • Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
  • Квазимногочлен
  • Тригонометрический многочлен

См. также

Литература

  • Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
  • Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
  • В. В. Прасолов Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
  • Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР
Синонимы:

Антонимы:

Полезное


Смотреть что такое "Многочлен" в других словарях:

  • многочлен — многочлен …   Орфографический словарь-справочник

  • МНОГОЧЛЕН — (polynomial) Функция y=f(x), определенная в виде суммы членов, каждый из которых в коэффициент раз больше степени х. Линейная функция представляет собой многочлен первой степени: у=ах+b. Уравнение второй степени является многочленом второй… …   Экономический словарь

  • МНОГОЧЛЕН — (полином), сумма одночленов, которые являются произведениями, состоящими из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, каждая из которых взята с тем или иным показателем степени. В общем виде, многочлен имеет форму… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • МНОГОЧЛЕН — (полином) алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида Axkyl ...wm где x, y, ..., w переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней целые неотрицат. числа) постоянные. Многочлен от одного… …   Большой Энциклопедический словарь

  • многочлен — полином Словарь русских синонимов. многочлен сущ., кол во синонимов: 5 • полином (1) • пфаффиан …   Словарь синонимов

  • МНОГОЧЛЕН — МНОГОЧЛЕН, сумма конечного числа одночленов …   Современная энциклопедия

  • МНОГОЧЛЕН — МНОГОЧЛЕН, многочленна, муж. (мат.). Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • МНОГОЧЛЕН — МНОГОЧЛЕН, а, муж. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов. | прил. многочленный, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • многочлен — полином — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации Синонимы полином EN multi nomial …   Справочник технического переводчика

  • Многочлен —         полином, выражение вида          Axkyl…..wm + Bxnyp…..wq + …… + Dxrts…..wt,         где х, у, ..., w переменные, а А, В, ..., D (коэффициенты М.) и k, l, ..., t (показатели степеней целые неотрицательные числа) постоянные. Отдельные… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»