Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса (Стоуна — Вейерштрасса) называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.

Формулировка

Пусть $f$ — непрерывная функция, определённая на отрезке $[a,b]$. Тогда для любого $\varepsilon > 0$ существует такой многочлен $p$ с вещественными коэффициентами, что для любого $x$ из $[a,\;b]$ выполнено условие $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$.^[1]

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома $p$ следует считать комплексными числами.

Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году^[2] как следствие более общего утверждения:

Пусть $f(x)$ при каждом вещественном значении переменной $x$ является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть $\psi(x)$ обладает теми же свойствами, что и $f$, и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству $\psi(-x)=\psi(x)$ и для нее сходится интеграл

$\int \limits_{0}^\infty \psi(x)dx$,

который можно обозначить как $\omega$. Если положить

$F(x,k)=\frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy$,

то

$f(x)=\lim\limits_{k=0}F(x,k)$.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен $f(x)$, но и что сходимость равномерная по $x$, меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве

$\psi(x)=e^{-x^2}$,

видим, что $F(x,k)$ вполне определены при всех комплексных $x$ и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.

Более того. Если к тому же $f(x)$ периодическая функция с периодом $T$, то $F(x,k)$ являются целыми периодическими функциями. Но тогда

$F\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z, k\right)$

является однозначной и голоморфной функцией в области $z\not =0$ и, следовательно, разлагается в ряд Лорана

$F=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{T}inx \right)}$,

поэтому $F(x,k)$, а значит и $f(x)$ можно приблизить тригонометрическими полиномами.

Произвольные функции и их аналитическое представление

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Герман Ханкель определил их наиболее четко:

О функции $y$ от $x$ говорят, когда каждому значению переменной $x$, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение $y$; при этом не существенно, зависит ли $y$ от $x$ во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.^[3]

Фраза «не существенно … может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций» призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Другие применения

Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

См. также

• Теорема Данжуа — Лузина
• Аппроксимационная проблема Бернштейна

Ссылки

1. ↑ Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
2. ↑ Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
3. ↑ Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261