Пфаффово уравнение

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида $\, \omega=0$, где $\, \omega$ — дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия $\, M^n$ размерности $\,n$. Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии $\, M^n$ введены (локальные) координаты $x=(x_1, \ldots, x_n)$, то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

$a_1(x)\,dx_1+ a_2(x)\,dx_2 + \cdots+ a_n(x)\,dx_n = 0,$

где $\,a_i(x)$ — скалярные функции, заданные на $\, M^n$. Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

$P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0, \quad x,y \in \R$.

Пфаффова система

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида $\, \omega_1=0, \omega_2=0, \ldots, \omega_m=0$, где $\, \omega_i$ — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия $\, M^n$ размерности $\,n$. В координатах пфаффова система имеет вид

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}(x)\,dx_1+ a_{12}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{1n}(x)\,dx_n &= 0 \\ a_{21}(x)\,dx_1+ a_{22}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{2n}(x)\,dx_n &= 0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}(x)\,dx_1+ a_{m2}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{mn}(x)\,dx_n &= 0. \\ \end{matrix} \right. \qquad \qquad (*)$

Рангом пфаффовой системы в точке $x=(x_1, \ldots, x_n)$ называется число $\, r(x)$, равное рангу матрицы $\, (a_{ij}(x))$. Обычно бывает $\, r(x)<n$.

Пфаффова система (*) задает в касательном пространстве $\, T_x M^n$ векторное подпространство размерности $\, n-r(x)$, которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на $\,M^n$ называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при $\, r(x) \equiv n-1$ распределение является полем направлений на $\,M^n$, при $\, r(x) \equiv n-2$ распределение является полем двумерных плоскостей, а при $\, r(x) \equiv 1$ распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат $x_1, \ldots, x_n$ одну (например, $\,x_n$) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на $\,dx_n$, получаем систему ОДУ первого порядка:

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}(x)\,x_1'+ a_{12}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{1n-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{1n}(x) &=0 \\ a_{21}(x)\,x_1'+ a_{22}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{2n}(x) &=0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}(x)\,x_1'+ a_{m2}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{mn}(x) &=0, \\ \end{matrix} \right. \qquad \qquad (**)$

где $\,x_i'=dx_i/dx_n$.

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат $(dx_1, \ldots, dx_n)$ к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию $\, M^n$.

Интегрирование пфаффовых систем

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей $1,2, \ldots, n-1$ в многообразии $\,M^n$, на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность $\,S$ в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т.е. касательное пространство к $\,S$ содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга $\,m<n$ называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия $\,M^n$ проходит интегральная поверхность $\,S_{n-m}$ максимально возможной размерности $\,n-m$.

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга $\,m<n$ с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии $\,M^n$ приводится к каноническому виду

$dx_1=0, \ dx_2=0, \, \ldots, \, dx_m=0.$

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

$\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_m\wedge d\omega_i=0 \quad \ i=1,\ldots,m, \qquad \qquad (***)$

где $\,d\omega_i$ означает внешний дифференциал 1-формы и $\,\wedge$ означает внешнее произведение форм.

Примеры

• Пфаффово уравнение $\,\omega = dx_1+ dx_2 + dx_3 = 0$ вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости $\,x_1+ x_2 + x_3 = c$ в трёхмерном пространстве. С помощью замены $\,\tilde x_1 = x_1+ x_2 + x_3$ это уравнение приводится к каноническому виду $\,d \tilde x_1 = 0.$ Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как $\,d\omega = 0.$

• Пфаффово уравнение $\omega = x_3\,dx_1+ dx_2 = 0$ не является вполне интегрируемым. В этом случае $d\omega = dx_3 \wedge dx_1$ и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

$\omega \wedge d\omega = (x_3\,dx_1+ dx_2) \wedge (dx_3 \wedge dx_1) = dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \neq 0.$

См. также

• Распределение (дифференциальная геометрия)
• Слоение

Литература

• Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
• Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.