- Теорема Уитни о вложении
-
Теорема Уитни о вложении утверждает что
Произвольное гладкое -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в -мерное евклидово пространство.
Этот результат оптимален, например, если — степень двойки, то -мерное проективное пространство невозможно вложить в -мерное евклидово пространство.
Содержание
О доказательстве
Случаи и «делаются руками». В случае легко видеть, что гладкое отображение общего положения является погружением с трансверсальными самопересечениями. Избавиться от этих самопересечений можно, несколько раз применив трюк Уитни:
Трюк Уитни
Пусть есть точка самопересечения и такие, что . Соединим и гладкой кривой Тогда есть замкнутая кривая в . Построим отображение с границей .
В общем положении, является вложением (как раз здесь мы используем то, что ). Тогда можно продеформировать многообразие вдоль вложенного диска так, чтобы точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку.
Вариации и обобщения
Пусть есть гладкое -мерное многообразие, .
- Если не является степенью двойки, тогда существует вложение в
- может быть погружено в
- Более того может быть погружено в , где есть число единиц в двоичном представлении .
- Последний результат оптимален, для любого можно можно построить -мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в .
- Более того может быть погружено в , где есть число единиц в двоичном представлении .
Литература
- В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
- Skopenkov, A. (2008), "«Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces»", in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. Т. 347 (2): 248—342, ISBN 13, <http://arxiv.org/abs/math/0604045>
- Классификация вложений (англ.)
Категории:- Дифференциальная геометрия и топология
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.