- Квадратное пирамидальное число
-
В математике пирамида́льное число́ или квадра́тное пирамида́льное число́ — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов в сетке N × N.
Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:
Содержание
Формула
Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:
Это частный случай формулы Фаулхабера (англ.)русск., который может быть доказан методом прямой математической индукции. Эквивалентная формула приводится в «Книге абака» (лат. Liber abaci) Фибоначчи.
В современной математике, формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрхарта (англ.)русск.. Многочлен Эрхарта L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрхарта пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, и вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле:[1]
- (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.
Производящая функция
Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:
Связь с другими фигурными числами
Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биноминальных коэффицентов:
Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдрические числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдрическими следующим образом:
Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом (англ.)русск..
Примечания
- ↑ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), "Coefficients and roots of Ehrhart polynomials", «Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization», vol. 374, Contemp. Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., сс. 15—36
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Square Pyramidal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.) Handbook of Mathematical Functions. — National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, 1964. — P. 813. — ISBN 0486612724
Категория:- Фигурные числа
Wikimedia Foundation. 2010.