- Золотое сечение
-
Иррациональные числа
γ - ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δЗолотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.
Отношение большей части к меньшей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью
и, наоборот, отношение меньшей части к большей
Число называется также золотым числом.
В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.
Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.
Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных[1][2][3].
Содержание
Математические свойства
- — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения , откуда, в частности, следуют соотношения:
- — представляется через тригонометрические функции:
- представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
- представляется в виде бесконечной цепной дроби
- подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи . Таким образом,
-
- Мера иррациональности равна 2.
- является знаменателем геометрической прогрессии, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.
- В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к зелёному, так же как зелёного к синему, так же как синего к фиолетовому, равны ).
- Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка можно построить следующим образом: в точке восстанавливают перпендикуляр к , откладывают на нём отрезок , равный половине , на отрезке откладывают отрезок , равный , и наконец, на отрезке откладывают отрезок , равный . Тогда
- Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
Золотое сечение и гармония в искусстве
Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются асимметричные композиции, не обязательно содержащие золотое сечение математически.
Есть основание считать, что значимость золотого сечения в искусстве преувеличена и основывается на ошибочных расчётах. Некоторые из таких утверждений:
- Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
- Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.
При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми» .
Примеры сознательного использования
Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение в своих проектах[4].
- Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения, разбив ленту на пять частей (в первых трёх действие развивается на корабле, в двух последних — в Одессе), где переход в город происходит точно в точке золотого сечения.
- Предполагается, что, возможно, при возведении Пирамиды Хеопса также использован принцип «золотого сечения».
См. также
- Пифагорейский пентакл
- Фибоначчиева система счисления
- Правило третей
- Метод золотого сечения
- Квадратный корень из 5 → Золотое сечение
Примечания
- ↑ Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»
- ↑ Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number
- ↑ Devlin’s Angle, The Myth That Will Not Go Away
- ↑ Золотой запас зодчества
Литература
- Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973.
- Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
- Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
- Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.
Ссылки
Golden ratio на Викискладе? - В. С. Белянин, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
- В. Лаврус, Золотое сечение
- Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве
Числа с собственными именами Вещественные Пи • Золотое сечение • Серебряное сечение • e (число Эйлера) • Постоянная Эйлера — Маскерони • Постоянные Фейгенбаума • Постоянная Гельфонда • Константа Бруна • Постоянная Каталана • Постоянная Апери Натуральные Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди • Число Грэма • Число Скьюза • Число Мозера Степени десяти Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс Степени тысячи Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион • Квадриллион • … • Центиллион Степени двенадцати Дюжина • Гросс • Масса Категории:- Числа с собственными именами
- Золотое сечение
- Алгебраические числа
- — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения , откуда, в частности, следуют соотношения:
Wikimedia Foundation. 2010.