- Дискриминант
-
Дискримина́нт многочлена , есть произведение
- , где — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
Содержание
Свойства
- Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
- , где — результант многочлена и его производной .
- В частности, дискриминант многочлена
-
-
- равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:
-
1 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . 0 0 0 1 . . . 0 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 1 . . . . . 0 0 . . . 0 0 . . 0 0 . . 0 0 0 . . 0 0 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 0 0 0 . . Примеры
- Дискриминант D квадратного трёхчлена равен . При корней — два, и они вычисляются по формуле
- (1)
- при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
- при вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
- Дискриминант многочлена равен
-
- В частности, дискриминант многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .
История
Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр[1].
Примечания
Категория:- Многочлены
Wikimedia Foundation. 2010.